区间qūjiān

Concept fondamental

Un intervalle represente un sous-ensemble continu de nombres reels. La notation d'intervalle fournit une methode compacte pour decrire des plages de nombres sur la droite numerique.

Definition

Un intervalle est l'ensemble de tous les nombres reels entre deux bornes $a$ et $b$, ou $a \leq b$.

Quatre types de base

Type 1 : Intervalle ferme $[a, b]$

$[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}$

Les deux bornes sont incluses.

Exemple : $[1, 5]$ contient $1, 2, 3, 4, 5$ et tous les nombres reels entre eux.

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Type 2 : Intervalle ouvert $(a, b)$

$(a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}$

Les deux bornes sont exclues.

Exemple : $(1, 5)$ contient tous les nombres entre $1$ et $5$, mais pas $1$ ni $5$ eux-memes.

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Type 3 : Intervalle semi-ouvert $[a, b)$

$[a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}$

Borne gauche incluse, borne droite exclue.

Exemple : $[1, 5)$ contient $1$, mais pas $5$.

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Type 4 : Intervalle semi-ouvert $(a, b]$

$(a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}$

Borne gauche exclue, borne droite incluse.

Exemple : $(1, 5]$ contient $5$, mais pas $1$.

Intervalles non bornes

Les intervalles peuvent s'etendre a l'infini :

Notation	Description	Notation ensembliste
$[a, +\infty)$	Tous les $x \geq a$	$\{x \in \mathbb{R} : x \geq a\}$
$(a, +\infty)$	Tous les $x > a$	$\{x \in \mathbb{R} : x > a\}$
$(-\infty, b]$	Tous les $x \leq b$	$\{x \in \mathbb{R} : x \leq b\}$
$(-\infty, b)$	Tous les $x < b$	$\{x \in \mathbb{R} : x < b\}$
$(-\infty, +\infty)$	Tous les nombres reels	$\mathbb{R}$

Important : L'infini est toujours ecrit avec des parentheses car $\infty$ n'est pas une borne.

Regles des crochets

Crochet	Signification	Symbole
$[$ ou $]$	Borne incluse	Point plein
$($ ou $)$	Borne exclue	Point vide

Operations sur les intervalles

Intersection

$[1, 5] \cap [3, 7] = [3, 5]$

Les elements communs aux deux intervalles.

Union

$[1, 3] \cup [5, 7] = [1, 3] \cup [5, 7]$

Tous les elements appartenant a au moins un des intervalles.

Complement

$[1, 5]^c = (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$

Tous les nombres reels qui ne sont pas dans l'intervalle.

Exercices pratiques CSCA

1. Ecrivez l'ensemble solution de $-2 < x \leq 5$ en notation d'intervalle.

2. Calculez : $[0, 4] \cap (2, 6]$

3. Determinez le complement de $(1, 3)$ par rapport a $\mathbb{R}$.

4. Si $A = [-1, 3]$ et $B = (0, 5)$, trouvez $A \cup B$ et $A \cap B$.

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Solutions :

1. $(-2, 5]$
2. $(2, 4]$
3. $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$
4. $A \cup B = [-1, 5)$, $A \cap B = (0, 3]$

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Conseil d'etude : La notation d'intervalle est fondamentale pour comprendre les domaines de definition et les solutions d'inequations dans les examens CSCA !