区间qūjiān

Concept fondamental

Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux extrémités. La notation par intervalle offre un moyen concis de représenter des sous-ensembles continus de nombres réels.

Quatre types d'intervalles bornés

Type	Notation	Créateur de décors	Description
Fermé	$[a, b]$	$\{x \mid a \leq x \leq b\}$	Comprend les deux extrémités
Ouvrir	$(a, b)$	$\{x \mid a < x < b\}$	Exclut les deux extrémités
À demi-ouvert (à gauche)	$(a, b]$	$\{x \mid a < x \leq b\}$	Exclut la gauche, inclut la droite
À demi-ouvert (à droite)	$[a, b)$	$\{x \mid a \leq x < b\}$	Comprend la gauche, exclut la droite

Intervalles sans limites

Notation	Créateur de décors	Description
$[a, +\infty)$	$\{x \mid x \geq a\}$	Tous les nombres ≥ a
$(a, +\infty)$	$\{x \mid x > a\}$	Tous les nombres > a
$(-\infty, b]$	$\{x \mid x \leq b\}$	Tous les nombres ≤ b
$(-\infty, b)$	$\{x \mid x < b\}$	Tous les nombres < b
$(-\infty, +\infty)$	$\mathbb{R}$	Tous les nombres réels

Important : les symboles de l'infini s'écrivent toujours entre parenthèses (jamais entre crochets), car ±∞ ne sont pas des nombres réels.

Règles du tournoi à élimination directe

• Crochets [ ] : le point final EST inclus (≤ ou ≥)
• Parenthèse ronde ( ) : le point final n'est PAS inclus (< ou >)
• Infinity : utilise toujours des parenthèses rondes

Opérations par intervalles

Intersection d'intervalles

$[1, 5] \cap [3, 8] = [3, 5]$

Prenons la zone de chevauchement :

• Extrémité gauche : max(1, 3) = 3
• Extrémité droite : min(5, 8) = 5

Union d'intervalles

$[1, 4] \cup [3, 7] = [1, 7]$

Si des intervalles se chevauchent, regroupez-les.

$[1, 2] \cup [4, 5]$ cannot be simplified (disjoint intervals)

Complément d'intervalles

Si $A = [2, 5]$ et $U = \mathbb{R}$ : $\complement_{\mathbb{R}} A = (-\infty, 2) \cup (5, +\infty)$

Remarque : extrémité fermée → ouverte, extrémité ouverte → fermée.

Exemples détaillés

Exemple 1 : Conversion d'une inégalité en intervalle

Référence : $-3 < x \leq 7$

Réponse : $(-3, 7]$

Exemple 2 : Conversion d'un intervalle en inégalité

Référence : $[-2, 4)$

Réponse : $-2 \leq x < 4$

Exemple 3 : Intersection d'intervalles

Références : $A = [-1, 4]$, $B = (2, 6)$

Rechercher : $A \cap B$

Solution :

• Extrémité gauche : max(-1, 2) = 2, parenthèse : ( (ouverte, à partir de B)
• Extrémité droite : min(4, 6) = 4, crochet : ] (fermé, à partir de A)

Réponse : $(2, 4]$

Exemple 4 : Union d'intervalles

Données : $A = (-\infty, 3)$, $B = [1, +\infty)$

Rechercher : $A \cup B$

Solution : Puisque 1 < 3, les intervalles se chevauchent et couvrent l'ensemble des nombres réels.

Réponse : $(-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$

Exercices pratiques du CSCA

💡 Remarque : Les exercices suivants ont été élaborés sur la base du programme de l'examen du CSCA.

Exemple 1 : Niveau débutant (Difficulté ★☆☆☆☆)

Exprimez l'inégalité $2 \leq x < 6$ sous forme d'intervalle.

Options :

• A. $(2, 6]$
• B. $[2, 6)$
• C. $(2, 6)$
• D. $[2, 6]$

Solution :

• $x \geq 2$ : utiliser [
• $x < 6$ : utilisation )

Réponse : B

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Exemple 2 : Niveau intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Rechercher $[-3, 2] \cap (0, 5]$.

Solution :

• Extrémité gauche : max(-3, 0) = 0, parenthèse : ( (à partir de B, ouverte)
• Extrémité droite : min(2, 5) = 2, crochet : ] (à partir de A, fermé)

Réponse : $(0, 2]$

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Exemple 3 : Niveau avancé (Difficulté ★★★★☆)

Si $A = \{x \mid x^2 - 5x + 4 \leq 0\}$, exprimez A sous forme d'intervalle.

Solution :

Décomposez l'expression du deuxième degré en facteurs : $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) \leq 0$

La parabole s'ouvre vers le haut, donc l'inégalité est vérifiée entre les racines : $1 \leq x \leq 4$

Réponse : $[1, 4]$

Longueur d'un intervalle

Pour un intervalle borné $[a, b]$ : $\text{Length} = b - a$

Exemple : la longueur du modèle $[-2, 5]$ est $5 - (-2) = 7$

Erreurs courantes

❌ Erreur n° 1 : utiliser des parenthèses avec l'infini

Incorrect : $[2, +\infty]$ ✗

Correct : $[2, +\infty)$ ✓

❌ Erreur n° 2 : point d'arrivée incorrect après l'intersection

Incorrect : $[1, 5] \cap [3, 8] = [1, 8]$ ✗

Correct : $[1, 5] \cap [3, 8] = [3, 5]$ ✓

❌ Erreur n° 3 : oublier de changer le type de parenthèse pour le complément

Faux : Le complément de $[a, b]$ est $(-\infty, a] \cup [b, +\infty)$ ✗

Correct : Le complément de $[a, b]$ est $(-\infty, a) \cup (b, +\infty)$ ✓

❌ Erreur n° 4 : supposer que le carrefour est libre

Deux intervalles n'ont une intersection vide que s'ils ne se chevauchent pas du tout.

$[1, 3] \cap [3, 5] = \{3\}$ (point unique, pas vide !)

Conseils pour étudier

1. ✅ N'oubliez pas la signification des parenthèses : [ ] inclut, ( ) exclut
2. ✅ ∞ donne toujours ( ) : n'utilisez jamais de parenthèses avec l'infini
3. ✅ Intersection = chevauchement : prendre la région commune
4. ✅ Le complément inverse les parenthèses : [ ↔ ) et ] ↔ (

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💡 Astuce d'examen : lorsque vous résolvez des inéquations du second degré, tracez toujours la parabole afin d'identifier correctement l'intervalle de solution !