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Concept fondamental

L'intersection de deux ensembles A et B, notée A ∩ B, est l'ensemble contenant tous les éléments communs à A et B.

Définition mathématique

$A \cap B = \{x | x \in A \text{ et } x \in B\}$

Un élément appartient à l'intersection si et seulement s'il appartient aux deux ensembles.

Propriétés importantes

1. Commutativité

$A \cap B = B \cap A$

2. Associativité

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

3. Élément neutre

$A \cap U = A$ (où U est l'ensemble universel)

4. Intersection avec l'ensemble vide

$A \cap \emptyset = \emptyset$

Exemples

Exemple 1: Ensembles finis

Donné: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

Trouver: A ∩ B

Solution: Éléments communs: 3, 4, 5

Réponse: A ∩ B = {3, 4, 5}

Exemple 2: Intersection d'intervalles

Donné: A = [-2, 5], B = [1, 8]

Trouver: A ∩ B

Solution: Le chevauchement des deux intervalles est [1, 5]

Réponse: A ∩ B = [1, 5]

Exercices CSCA

Exemple 1: Basique (Difficulté ★☆☆☆☆)

Si A = {a, b, c, d} et B = {c, d, e, f}, trouvez A ∩ B.

Solution: Éléments communs: c, d

Réponse: {c, d}

Exemple 2: Avancé (Difficulté ★★★★☆)

Si A ∩ B = A, quelle est la relation entre les ensembles A et B?

Solution: Si A ∩ B = A, alors tout élément de A doit aussi être dans B.

Réponse: A ⊆ B (A est un sous-ensemble de B)

Erreurs courantes

❌ Erreur 1: Confondre intersection et union

Faux: A ∩ B inclut tous les éléments des deux ensembles ✗

Correct: A ∩ B inclut uniquement les éléments communs ✓

Conseils d'étude

1. ✅ Pensée "ET": Intersection signifie ET - l'élément doit satisfaire LES DEUX conditions
2. ✅ Dessiner des diagrammes de Venn: La représentation visuelle aide à éviter les erreurs

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💡 Conseil d'examen: Les problèmes d'intersection apparaissent souvent avec des inéquations quadratiques. Résolvez toujours d'abord l'inéquation, puis trouvez l'intersection!