union | CSCA Math Glossary

Concept fondamental

L'union de deux ensembles A et B, notee A ∪ B, est l'ensemble contenant tous les elements qui appartiennent a A ou a B (ou aux deux).

Definition mathematique

$A \cup B = \{x | x \in A \text{ ou } x \in B\}$

Un element appartient a l'union s'il appartient a au moins un des deux ensembles.

Proprietes importantes

1. Commutativite

$A \cup B = B \cup A$

2. Associativite

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

3. Element neutre

$A \cup \emptyset = A$ (l'ensemble vide est l'element neutre)

4. Idempotence

$A \cup A = A$

5. Union avec l'ensemble universel

$A \cup U = U$ (ou U est l'ensemble universel)

Formule de cardinalite

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Cette formule evite de compter deux fois les elements communs.

Exemples

Exemple 1: Ensembles finis

Donne: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

Trouver: A ∪ B

Solution: Tous les elements des deux ensembles: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Reponse: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Exemple 2: Union d'intervalles

Donne: A = [-2, 3], B = [1, 5]

Trouver: A ∪ B

Solution: L'union des deux intervalles est [-2, 5]

Reponse: A ∪ B = [-2, 5]

Exercices CSCA

Exemple 1: Basique (Difficulte ★☆☆☆☆)

Si A = {a, b, c, d} et B = {c, d, e, f}, trouvez A ∪ B.

Solution: Tous les elements: a, b, c, d, e, f

Reponse: {a, b, c, d, e, f}

Exemple 2: Intermediaire (Difficulte ★★★☆☆)

Si |A| = 5, |B| = 4 et |A ∩ B| = 2, trouvez |A ∪ B|.

Solution: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 5 + 4 - 2 = 7$

Reponse: 7

Exemple 3: Avance (Difficulte ★★★★☆)

Si A ∪ B = A, quelle est la relation entre les ensembles A et B?

Solution: Si A ∪ B = A, alors tout element de B doit aussi etre dans A.

Reponse: B ⊆ A (B est un sous-ensemble de A)

Erreurs courantes

Erreur 1: Confondre union et intersection

Faux: A ∪ B inclut uniquement les elements communs

Correct: A ∪ B inclut tous les elements des deux ensembles

Erreur 2: Double comptage de la cardinalite

Faux: |A ∪ B| = |A| + |B|

Correct: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Conseils d'etude

Pensee "OU": Union signifie OU - l'element doit etre dans AU MOINS UN ensemble
Dessiner des diagrammes de Venn: La representation visuelle aide a eviter les erreurs
Memoriser la formule de cardinalite: Toujours soustraire l'intersection!

Conseil d'examen: Pour les problemes de cardinalite, utilisez toujours la formule |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|!

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