绝对值不等式juéduìzhí bùděngshì

Concept fondamental

Une inégalité avec valeur absolue contient des symboles de valeur absolue. Pour la résoudre, il faut procéder à une analyse cas par cas en se basant sur la définition ou en recourant à la signification géométrique de la valeur absolue.

Définition

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

Signification géométrique

$|x|$ représente la distance entre le point $x$ et l'origine sur la droite numérique. $|x - a|$ correspond à la distance entre le point $x$ et le point $a$.

Types de base

Type 1 : $|x| < a$

$|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a \quad (a > 0)$

Exemple : Résoudre $|x - 2| < 3$

Solution : $-3 < x - 2 < 3 \Rightarrow -1 < x < 5$

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Type 2 : $|x| > a$

$|x| > a \Leftrightarrow x < -a \text{ or } x > a \quad (a > 0)$

Exemple : Résoudre $|2x + 1| > 5$

Solution : $2x + 1 < -5 \text{ or } 2x + 1 > 5$ $x < -3 \text{ or } x > 2$

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Type 3 : Somme des distances

$|x - a| + |x - b| \geq |a - b|$

L'égalité est vérifiée lorsque $x$ est compris entre $a$ et $b$.

Inégalité des triangles

$|a + b| \leq |a| + |b|$

L'égalité est vérifiée lorsque $ab \geq 0$.

Idées reçues courantes

❌ Idée fausse n° 1 : solution erronée pour le modèle $|x| < a$

Incorrect : $|x| < 2 \Rightarrow x < -2$ ou $x < 2$

Correct : $|x| < 2 \Rightarrow -2 < x < 2$

❌ Idée fausse n° 2 : union vs intersection

Incorrect : $|x| > 2 \Rightarrow -2 < x < 2$

Correct : $|x| > 2 \Rightarrow x < -2$ ou $x > 2$

Conseils pour étudier

1. ✅ Maîtrisez les formules de base : $|x| < a$ et $|x| > a$
2. ✅ Comprendre la géométrie : la notion de distance
3. ✅ Exercice d'analyse de cas : méthode du point zéro
4. ✅ N'oubliez pas l'inégalité triangulaire : $|a + b| \leq |a| + |b|$

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💡 Astuce d'examen : les inégalités avec valeur absolue reviennent très souvent dans les examens du CSCA !