绝对值不等式juéduìzhí bùděngshì

Concept fondamental

Une inégalité en valeur absolue contient des symboles de valeur absolue. Pour la résoudre, il faut analyser les cas en fonction de la définition ou utiliser la signification géométrique de la valeur absolue.

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ Définition### La signification $|x|$ géométrique représente la distance entre le point$x$ et l'origine sur la droite numérique. $|x - a|$ représente la distance entre le point$x$ et le point$a$ .

Types de base

Type 1 :

$|x| < a$

$|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a \quad (a > 0)$

Exemple : Résoudre$|x - 2| < 3$ Solution :

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$-3 < x - 2 < 3 \Rightarrow -1 < x < 5$

Type 2 :

$|x| > a$

$|x| > a \Leftrightarrow x < -a \text{ or } x > a \quad (a > 0)$

Exemple : Résoudre$|2x + 1| > 5$ Solution : $2x + 1 < -5 \text{ or } 2x + 1 > 5$ $x < -3 \text{ or } x > 2$

Type 3 : Somme des distances

$|x - a| + |x - b| \geq |a - b|$ L'égalité est vérifiée lorsque$x$ est compris entre$a$ et$b$ .

Inégalité triangulaire

$|a + b| \leq |a| + |b|$

L'égalité est vérifiée lorsque$ab \geq 0$ .

Idées fausses courantes

❌ Idée fausse 1 : solution erronée pour

$|x| < a$

Faux :$|x| < 2 \Rightarrow x < -2$ ou $x < 2$

Correct : $|x| < 2 \Rightarrow -2 < x < 2$

❌ Idée fausse 2 : union vs intersection

Faux : $|x| > 2 \Rightarrow -2 < x < 2$

Correct :$|x| > 2 \Rightarrow x < -2$ ou $x > 2$

Conseils d'étude

1. ✅ Maîtrisez les formules de base :$|x| < a$ et $|x| > a$
2. ✅ Comprenez la géométrie : concept de distance
3. ✅ Entraînez-vous à l'analyse de cas : méthode du point zéro
4. ✅ Mémorisez l'inégalité triangulaire :$|a + b| \leq |a| + |b|$

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💡 Conseil pour l'examen : les inégalités en valeur absolue sont très fréquentes dans les examens CSCA !