一元一次不等式yīyuán yīcì bùděngshì

Kernkonzept

Eine lineare Ungleichung mit einer Variablen ist eine Ungleichung, die in folgender Form geschrieben werden kann:

$ax + b > 0, \quad ax + b < 0, \quad ax + b \geq 0, \quad \text{or} \quad ax + b \leq 0$

wobei $a \neq 0$ sowie $a$ und $b$ Konstanten sind.

Standardformulare

• $ax + b > 0$ (streng größer als)
• $ax + b < 0$ (streng kleiner als)
• $ax + b \geq 0$ (größer oder gleich)
• $ax + b \leq 0$ (kleiner oder gleich)

Eigenschaften von Ungleichungen

1. Additions- und Subtraktionsgesetz

Wenn $a > b$ gilt, dann gilt $a + c > b + c$ für jede reelle Zahl $c$.

Das Hinzufügen oder Wegziehen derselben Zahl von beiden Seiten bewahrt die Richtung der Ungleichung.

2. Eigenschaft der Multiplikation/Division

Positiver Multiplikator: Wenn $a > b$ und $c > 0$, dann gilt $ac > bc$.

Negativer Multiplikator: Wenn $a > b$ und $c < 0$, dann $ac < bc$.

Wichtige Regel: Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden.

3. Transitivität

Wenn $a > b$ und $b > c$, dann $a > c$.

Lösungsansatz

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Beide Seiten vereinfachen (ausmultiplizieren, gleichartige Terme zusammenfassen)
2. Variable Terme auf eine Seite verschieben
3. Konstante Terme auf die andere Seite verschieben
4. Durch den Koeffizienten von $x$ teilen
5. Wenn durch eine negative Zahl geteilt wird, muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden.
6. Ausdruck in Intervallnotation

Beispiel mit Lösung

Lösung: $3x - 7 \leq 2x + 5$

Schritt 1: $2x$ von beiden Seiten abziehen $3x - 2x - 7 \leq 5$ $x - 7 \leq 5$

Schritt 2: Addiere 7 zu beiden Seiten $x \leq 12$

Lösung: $(-\infty, 12]$

Beispiele mit Vorzeichenumkehr

Beispiel: Negativer Koeffizient

Lösung: $-2x + 6 > 10$

Schritt 1: Ziehe 6 ab $-2x > 4$

Schritt 2: Durch -2 teilen (das Vorzeichen umkehren!) $x < -2$

Lösung: $(-\infty, -2)$

CSCA-Übungsaufgaben

💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem Prüfungslehrplan der CSCA.

Beispiel 1: Grundstufe (Schwierigkeitsgrad ★☆☆☆☆)

Löse die Aufgabe $2x - 5 > 7$.

Optionen:

• A. $x > 6$
• B. $x < 6$
• C. $x > 1$
• D. $x < 1$

Lösung: $2x - 5 > 7$ $2x > 12$ $x > 6$

Antwort: A

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Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Löse die Aufgabe $\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{2} \geq 1$.

Lösung:

Mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD) = 6 multiplizieren: $2(2x - 1) - 3(x + 2) \geq 6$ $4x - 2 - 3x - 6 \geq 6$ $x - 8 \geq 6$ $x \geq 14$

Antwort: $[14, +\infty)$

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Beispiel 3: Ungleichungssystem (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Bestimme die Lösungsmenge des Systems: $\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + 4 \leq 10 \end{cases}$

Lösung:

Aus der ersten Ungleichung folgt: $2x > 4$, also $x > 2$ Aus der zweiten Ungleichung: $x \leq 6$

Kombiniert: $2 < x \leq 6$

Antwort: $(2, 6]$

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Beispiel 4: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Für welche Werte von $a$ gibt es keine Lösung für $ax - 2 > ax + 1$?

Lösung:

Ziehe $ax$ von beiden Seiten ab: $-2 > 1$

Dies ist immer falsch, unabhängig von $a$.

Daher hat die Ungleichung keine Lösung für alle reellen Werte von $a$.

Antwort: $a \in \mathbb{R}$ (alle reellen Zahlen)

Zusammengesetzte Ungleichungen

Typ „Und“ (Schnittmenge)

$a < x$ und $x < b$ bedeuten $a < x < b$

Beispiel: $-3 < 2x + 1 < 7$

Lösung: $-3 < 2x + 1$ UND $2x + 1 < 7$

• $-4 < 2x$ → $x > -2$
• $2x < 6$ → $x < 3$

Lösung: $-2 < x < 3$ oder $(-2, 3)$

Typ „Oder“ (Vereinigung)

$x < a$ oder $x > b$

Beispiel: $3x - 2 < 1$ ODER $3x - 2 > 7$

Löse jeweils folgende Aufgabe:

• $3x < 3$ → $x < 1$
• $3x > 9$ → $x > 3$

Lösung: $x < 1$ oder $x > 3$ oder $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Vergessen, das Schild umzudrehen

Falsch: $-3x > 6 \Rightarrow x > -2$ ✗

Richtig: $-3x > 6 \Rightarrow x < -2$ ✓

❌ Fehler 2: Falsche Rechenoperationen mit Brüchen

Falsch: $\dfrac{x}{2} > 3$ mit 2 multiplizieren, um $x > 1.5$ zu erhalten ✗

Richtig: $\dfrac{x}{2} > 3 \Rightarrow x > 6$ ✓

❌ Fehler 3: Falsche Intervallbezeichnung

Falsch: $x > 3$ bedeutet $(3, \infty]$ ✗

Richtig: $x > 3$ bedeutet $(3, +\infty)$ ✓

Lerntipps

1. ✅ Richtung der Ungleichung markieren: Bei jedem Schritt den Überblick behalten
2. ✅ Negative Multiplikatoren hervorheben: Bei diesen muss das Vorzeichen umgekehrt werden
3. ✅ Mit Testwerten überprüfen: Überprüfen Sie, ob Ihre Antwort dazu führt, dass die ursprüngliche Aussage wahr ist.
4. ✅ Zahlenreihe zeichnen: Die Lösungsmenge veranschaulichen

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💡 Prüfungs-Tipp: Der häufigste Fehler ist, dass man vergisst, die Ungleichung beim Dividieren durch eine negative Zahl umzukehren. Hebe diesen Schritt immer besonders hervor!