绝对值不等式juéduìzhí bùděngshì

Kernkonzept

Eine Absolutwertungleichung enthält Absolutwertzeichen. Die Lösung erfordert eine Fallanalyse auf der Grundlage der Definition oder unter Verwendung der geometrischen Bedeutung des Absolutwerts.

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ Definition### Geometrische Bedeutung $|x|$ stellt den Abstand vom Punkt$x$ zum Ursprung auf der Zahlengeraden dar. stellt den Abstand vom$|x - a|$ Punkt$x$ zum Punkt $a$ dar.

Grundtypen

Typ 1:

$|x| < a$

$|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a \quad (a > 0)$

Beispiel: Lösen$|x - 2| < 3$ Lösung:

$2x + 1 < -5 \text{ or } 2x + 1 > 5$ $x < -3 \text{ or } x > 2$

$-3 < x - 2 < 3 \Rightarrow -1 < x < 5$

Typ 2:

$|x| > a$

$|x| > a \Leftrightarrow x < -a \text{ or } x > a \quad (a > 0)$

Beispiel: Lösen$|2x + 1| > 5$ Lösung:---

Typ 3: Summe der Abstände

$|x - a| + |x - b| \geq |a - b|$ Die Gleichung ist erfüllt, wenn $x$ zwischen$a$ und liegt$b$ .

Dreiecksungleichung

$|a + b| \leq |a| + |b|$ Die Gleichung ist erfüllt, wenn$ab \geq 0$ .

Häufige Missverständnisse

❌ Missverständnis 1: Falsche Lösung für

$|x| < a$

Falsch:$|x| < 2 \Rightarrow x < -2$ oder $x < 2$

Richtig: $|x| < 2 \Rightarrow -2 < x < 2$

❌ Missverständnis 2: Vereinigung vs. Schnittmenge

Falsch: $|x| > 2 \Rightarrow -2 < x < 2$

Richtig:$|x| > 2 \Rightarrow x < -2$ oder $x > 2$

Lerntipps

1. ✅ Beherrsche die Grundformeln:$|x| < a$ und $|x| > a$
2. ✅ Verstehe die Geometrie: Abstandskonzept
3. ✅ Übe Fallanalysen: Nullpunktmethode
4. ✅ Merke dir die Dreiecksungleichung:$|a + b| \leq |a| + |b|$

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💡 Prüfungstipp: Absolutwertungleichungen kommen in CSCA-Prüfungen sehr häufig vor!