绝对值不等式juéduìzhí bùděngshì

Kernkonzept

Eine Absolutwertungleichung enthält Absolutwertzeichen. Zur Lösung ist eine Fallanalyse auf der Grundlage der Definition oder unter Heranziehung der geometrischen Bedeutung des Absolutwerts erforderlich.

Definition

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

Geometrische Bedeutung

$|x|$ steht für den Abstand vom Punkt $x$ zum Ursprung auf der Zahlengeraden. $|x - a|$ bezeichnet den Abstand vom Punkt $x$ zum Punkt $a$.

Grundtypen

Typ 1: $|x| < a$

$|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a \quad (a > 0)$

Beispiel: Löse $|x - 2| < 3$

Lösung: $-3 < x - 2 < 3 \Rightarrow -1 < x < 5$

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Typ 2: $|x| > a$

$|x| > a \Leftrightarrow x < -a \text{ or } x > a \quad (a > 0)$

Beispiel: Löse $|2x + 1| > 5$

Lösung: $2x + 1 < -5 \text{ or } 2x + 1 > 5$ $x < -3 \text{ or } x > 2$

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Typ 3: Summe der Abstände

$|x - a| + |x - b| \geq |a - b|$

Die Gleichung gilt, wenn $x$ zwischen $a$ und $b$ liegt.

Dreiecksungleichung

$|a + b| \leq |a| + |b|$

Die Gleichung gilt, wenn $ab \geq 0$.

Häufige Irrtümer

❌ Irrtum 1: Falsche Lösung für $|x| < a$

Falsch: $|x| < 2 \Rightarrow x < -2$ oder $x < 2$

Richtig: $|x| < 2 \Rightarrow -2 < x < 2$

❌ Irrtum 2: Vereinigungsmenge vs. Schnittmenge

Falsch: $|x| > 2 \Rightarrow -2 < x < 2$

Richtig: $|x| > 2 \Rightarrow x < -2$ oder $x > 2$

Lerntipps

1. ✅ Grundformeln beherrschen: $|x| < a$ und $|x| > a$
2. ✅ Geometrie verstehen: Der Begriff der Entfernung
3. ✅ Praxisbeispiel zur Fallanalyse: Nullpunktmethode
4. ✅ Merke dir die Dreiecksungleichung: $|a + b| \leq |a| + |b|$

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💡 Prüfungs-Tipp: Ungleichungen mit Absolutwerten kommen in CSCA-Prüfungen sehr häufig vor!