速度sùdù

核心概念

速度描述位置变化的快慢。中文里这个词覆盖了英文中两个不同的概念，而 CSCA 考题不断利用这个区别：

• 速率（speed）——标量：只有快慢，没有方向
• 速度（velocity）——矢量：既有快慢，又有方向

平均速度

$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

注意这里用的是位移 $\Delta x$，不是路程。仅这一条区别，就制造了本知识点大部分的考试陷阱。

平均速率

$\text{平均速率} = \frac{\text{总路程}}{\Delta t}$

运动员用 $50\ \mathrm{s}$ 跑完 $400\ \mathrm{m}$ 跑道一圈：

• 平均速率 = $400/50 = 8\ \mathrm{m/s}$
• 平均速度 = $0/50 = 0$，因为终点就是起点

瞬时速度

某一时刻的速度，即 $\Delta t \to 0$ 时 $\Delta x/\Delta t$ 的极限。这是速度表显示的量，也是"$t = 3\ \mathrm{s}$ 时速度为……"所指的量。

对匀变速运动，瞬时速度满足：

$v = v_0 + at$

一个有用的捷径

仅在匀变速时，平均速度等于首末速度的算术平均：

$\bar{v} = \frac{v_0 + v}{2}$

它能把许多两步题压成一行。加速度变化时不成立。

CSCA 练习题

💡 说明：以下习题依据 CSCA 考试大纲和中国标准化考试题型设计。

例题 1：基础（难度 ★★☆☆☆）

汽车用 $1\ \mathrm{h}$ 向东行驶 $60\ \mathrm{km}$，再用 $1\ \mathrm{h}$ 向西返回 $60\ \mathrm{km}$。全程：

选项：

• A. 平均速率 $60\ \mathrm{km/h}$，平均速度 $60\ \mathrm{km/h}$
• B. 平均速率 $60\ \mathrm{km/h}$，平均速度 $0$
• C. 平均速率 $0$，平均速度 $0$
• D. 平均速率 $120\ \mathrm{km/h}$，平均速度 $0$

详细解答：

1. 总路程 $= 60 + 60 = 120\ \mathrm{km}$，总时间 $= 2\ \mathrm{h}$。 $\text{平均速率} = \frac{120}{2} = 60\ \mathrm{km/h}$

2. 汽车回到出发点，位移 $= 0$： $\bar{v} = \frac{0}{2} = 0$

答案：B

---

例题 2：中等（难度 ★★★☆☆）

物体由静止开始匀加速，前进 $36\ \mathrm{m}$ 后速度达到 $12\ \mathrm{m/s}$。用时多少？

选项：

• A. $3\ \mathrm{s}$
• B. $6\ \mathrm{s}$
• C. $9\ \mathrm{s}$
• D. $12\ \mathrm{s}$

详细解答：

不必先求 $a$，直接用平均速度捷径：

1. 由静止开始匀加速，故 $\bar{v} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{0 + 12}{2} = 6\ \mathrm{m/s}$

2. 于是 $t = \frac{\Delta x}{\bar{v}} = \frac{36}{6} = 6\ \mathrm{s}$

答案：B

用常规方法验算：$v^2 = 2ax \Rightarrow 144 = 2a(36) \Rightarrow a = 2\ \mathrm{m/s^2}$，再 $t = v/a = 12/2 = 6\ \mathrm{s}$ ✓——答案相同，工作量翻倍。

常见错误

❌ 错误一：在平均速度公式里用路程

$\bar{v}$ 用的是位移。任何闭合路径的平均速度都为零，无论实际跑了多远。

❌ 错误二：把两个速率直接取平均

等距离分别以 $v_1$、$v_2$ 行进时，平均速率不是 $\frac{v_1+v_2}{2}$，而是调和平均 $\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$——因为在慢的那段花的时间更多。首末取平均只对等时间的匀变速成立。

❌ 错误三：认为速度总是正的

速度是矢量，负值只表示沿负方向运动。

学习建议

1. ✅ 每次求平均前先问"是路程还是位移？"
2. ✅ 背下 $\bar{v} = \frac{v_0+v}{2}$ 及其成立条件（匀变速）
3. ✅ 留意闭合路径——往返题就是平均速度为 $0$ 的信号
4. ✅ 把速率和速度分清，尽管中文里两词很近
5. ✅ 标注正方向，让负号发挥作用

---

💡 考试提示：「平均速度」与「瞬时速度」都是 CSCA 的常考知识点，「路程和位移的计算」紧挨其旁——多数题目真正考的是你有没有注意到路程与位移的偷换。