位移wèiyí

核心概念

位移是位置的直线变化量：由起点指向终点，中间怎么走完全无关。

与它配对的概念是路程——实际走过路径的总长度。「路程和位移的计算」之所以是 CSCA 的高频知识点，正因为同学们常把两者混为一谈。

定义

$\Delta x = x_{\text{末}} - x_{\text{初}}$

• 矢量：有大小也有方向
• 国际单位：米（$\mathrm{m}$）
• 可正、可负、可为零

位移与路程

	位移	路程
类型	矢量	标量
与路径有关？	无关	有关
运动中可为零？	可以	不可以
关系	$\lvert\Delta x\rvert \leq$ 路程	恒 $\geq \lvert\Delta x\rvert$

两者仅当做单向直线运动（不反向）时才相等。其余任何情况路程都严格更大。

二维情形

位移按矢量法则相加，互相垂直的两段用勾股定理合成：

$\lvert\Delta \vec{r}\rvert = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$

向东 $3\ \mathrm{m}$ 再向北 $4\ \mathrm{m}$：路程 $= 7\ \mathrm{m}$，位移 $= \sqrt{9+16} = 5\ \mathrm{m}$，方向东北。

从图像上读位移

在位移—时间图上，某段时间的位移就是首末两点的高度差。

在速度—时间图上，位移是曲线下的有向面积——时间轴下方的面积计为负。而路程是面积的绝对值之和。这是 CSCA 运动学中最有用的一条图像结论。

CSCA 练习题

💡 说明：以下习题依据 CSCA 考试大纲和中国标准化考试题型设计。

例题 1：基础（难度 ★★☆☆☆）

运动员沿周长 $400\ \mathrm{m}$ 的圆形跑道跑了一圈半，则路程和位移大小分别为：

选项：

• A. $600\ \mathrm{m}$ 和 $0$
• B. $600\ \mathrm{m}$ 和约 $127\ \mathrm{m}$
• C. $400\ \mathrm{m}$ 和 $200\ \mathrm{m}$
• D. $600\ \mathrm{m}$ 和 $200\ \mathrm{m}$

详细解答：

1. 路程即路径长度：$1.5 \times 400 = 600\ \mathrm{m}$。

2. 一圈半后终点位于起点的正对面（直径两端），故位移大小等于直径。

3. 由 $C = 2\pi r = 400$ 得 $r = \dfrac{400}{2\pi} \approx 63.7\ \mathrm{m}$，直径约 $127\ \mathrm{m}$。

选项 D 的陷阱是把半圈的弧长 $200\ \mathrm{m}$ 当作位移——但位移是直线距离，不是弧长。

答案：B

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例题 2：中等（难度 ★★★☆☆）

物体先以 $+4\ \mathrm{m/s}$ 运动 $3\ \mathrm{s}$，再以 $-2\ \mathrm{m/s}$ 运动 $4\ \mathrm{s}$。求位移和路程。

选项：

• A. 位移 $4\ \mathrm{m}$，路程 $20\ \mathrm{m}$
• B. 位移 $20\ \mathrm{m}$，路程 $20\ \mathrm{m}$
• C. 位移 $4\ \mathrm{m}$，路程 $4\ \mathrm{m}$
• D. 位移 $-4\ \mathrm{m}$，路程 $20\ \mathrm{m}$

详细解答：

1. 第一段：$x_1 = (+4)(3) = +12\ \mathrm{m}$

2. 第二段：$x_2 = (-2)(4) = -8\ \mathrm{m}$

3. 位移把带符号的量相加： $\Delta x = 12 + (-8) = +4\ \mathrm{m}$

4. 路程把绝对值相加： $12 + 8 = 20\ \mathrm{m}$

在速度—时间图上，这正是"有向面积"与"总面积"的区别。

答案：A

常见错误

❌ 错误一：该用位移的地方用了路程

$\bar{v} = \Delta x/\Delta t$ 和 $x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ 给出的都是位移。代入路程会让任何含反向的题目失效。

❌ 错误二：把方向相反的两段直接相加

两次相反方向各 $5\ \mathrm{m}$，位移是 $0$ 而不是 $10\ \mathrm{m}$。

❌ 错误三：圆形跑道上把弧长当位移

位移永远是首末两点之间的直线（弦）。

❌ 错误四：读速度—时间图时忽略符号

时间轴下方的面积是负位移。把所有面积当正的相加，得到的是路程而非位移。

学习建议

1. ✅ 动笔前先把题目里的"路程"或"位移"圈出来
2. ✅ 画出路径草图——一张图能解决这类题的大半
3. ✅ 记住 $\lvert\Delta x\rvert \leq$ 路程，仅单向直线运动时取等
4. ✅ $v$–$t$ 图上：有向面积 = 位移，总面积 = 路程
5. ✅ 垂直两段用勾股合成，不能直接相加

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💡 考试提示：「路程和位移的计算」位居 CSCA 物理知识点前列。题目几乎总会安排一次反向或一个闭合回路——那就是全部考点。