数学期望shùxué qīwàng

核心概念

随机变量的数学期望（或期望值）是所有可能取值的加权平均，权重为对应的概率。

离散型随机变量

对于离散型随机变量 $X$，取值为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，对应概率为 $p_1, p_2, \ldots, p_n$：

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$

符号

• $E(X)$ - $X$ 的期望值
• $\mu$（mu）- 常用来表示期望值
• $\overline{X}$ - 样本均值（$E(X)$ 的估计）

意义

期望值代表：

• 多次独立试验的长期平均值
• 概率分布的重心
• 赌博/金融中的公平价值

重要：期望值本身不一定是可能的取值。

期望的性质

1. 线性性质

$E(aX + b) = aE(X) + b$

其中 $a$ 和 $b$ 是常数。

2. 随机变量之和

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

即使 $X$ 和 $Y$ 不独立，此性质也成立。

3. 独立变量的乘积

若 $X$ 和 $Y$ 独立： $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

4. 常数的期望

$E(c) = c$

常见分布

分布	期望值
伯努利分布 Bernoulli($p$)	$p$
二项分布 Binomial($n, p$)	$np$
离散均匀分布($\{1,2,...,n\}$)	$\dfrac{n+1}{2}$
几何分布 Geometric($p$)	$\dfrac{1}{p}$

CSCA练习题

💡 注：以下练习题基于CSCA考试大纲设计。

例题1：基础题（难度 ★★☆☆☆）

随机变量 $X$ 的分布如下：

$X$	1	2	3
$P$	0.2	0.5	0.3

求 $E(X)$。

解法： $E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3$ $= 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$

答案：$E(X) = 2.1$

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例题2：中级（难度 ★★★☆☆）

若 $E(X) = 3$，求 $E(2X + 5)$。

解法：

利用线性性质： $E(2X + 5) = 2E(X) + 5 = 2(3) + 5 = 11$

答案：$11$

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例题3：中级（难度 ★★★☆☆）

一枚公平硬币抛掷 100 次。设 $X$ 为正面朝上的次数，求 $E(X)$。

解法：

$X$ 服从二项分布，$n = 100$，$p = 0.5$。

$E(X) = np = 100 \times 0.5 = 50$

答案：$E(X) = 50$

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例题4：高级（难度 ★★★★☆）

袋中有 3 个红球和 2 个白球，不放回地取出 2 个球。设 $X$ 为取出的红球数，求 $E(X)$。

解法：

求 $X$ 的分布：

$P(X = 0) = \dfrac{C_2^2}{C_5^2} = \dfrac{1}{10}$（两白）

$P(X = 1) = \dfrac{C_3^1 \cdot C_2^1}{C_5^2} = \dfrac{6}{10}$（一红一白）

$P(X = 2) = \dfrac{C_3^2}{C_5^2} = \dfrac{3}{10}$（两红）

$E(X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10}$ $= 0 + 0.6 + 0.6 = 1.2$

答案：$E(X) = 1.2$

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例题5：高级（难度 ★★★★★）

若 $E(X) = 2$，$E(X^2) = 8$，求 $E((X-1)^2)$。

解法：

展开： $E((X-1)^2) = E(X^2 - 2X + 1)$ $= E(X^2) - 2E(X) + 1$ $= 8 - 2(2) + 1 = 8 - 4 + 1 = 5$

答案：$5$

实际应用

1. 公平游戏

若 $E(\text{收益}) = 0$，则游戏是"公平"的。

例：支付 ¥2 抛硬币，正面赢 ¥4，反面赢 ¥0。 $E(\text{收益}) = 0.5 \times (4-2) + 0.5 \times (0-2) = 1 - 1 = 0$ 这是公平游戏。

2. 保险

保险公司用期望值来设定保费。

3. 投资分析

期望收益帮助比较投资选项。

常见错误

❌ 错误1：混淆 E(X) 与最可能值

错误：$E(X)$ 是出现最多的值 ✗

正确：$E(X)$ 是加权平均；众数才是最频繁的值 ✓

❌ 错误2：忘记概率之和为 1

计算前先验证：$\sum p_i = 1$

❌ 错误3：线性性质用错

错误：$E(X^2) = (E(X))^2$ ✗

正确：一般 $E(X^2) \neq (E(X))^2$。两者之差正是方差！✓

与方差的关系

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

或等价地： $E(X^2) = \text{Var}(X) + (E(X))^2$

学习要点

1. ✅ 记住公式：$E(X) = \sum x_i p_i$
2. ✅ 掌握线性性质：$E(aX+b) = aE(X)+b$
3. ✅ 熟记常见分布：二项分布的期望是 $np$
4. ✅ 不要与方差混淆：$E(X^2) \neq (E(X))^2$

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💡 考试要点：给出概率分布表时，先验证概率之和为 1，再直接应用定义公式！