条件概率tiáojiàn gàilǜ

核心理念

条件概率 是指在事件 $B$ 已发生的情况下，事件 $A$ 发生的概率，用 $P(A|B)$ 表示。

定义

设 $A, B$ 是两个事件，且 $P(B) > 0$.给定 $B$ 时 $A$ 的条件概率为：

$A$的条件概率为：$B$。

理解：

• 分母 $P(A \cap B)$：$A$和$B$的概率
• 分母$P(B)$：$B$的概率
• 意义：发生$B$的 "新样本空间 "中$A$的概率

属性

1.非负性

_$0 \leq P(A|B) \leq 1$

2.确定事件

$P(\Omega|B) = 1$

3.加法规则

如果$A_1, A_2$互斥： $P(A_1 \cup A_2|B) = P(A_1|B) + P(A_2|B)$_

乘法规则

根据定义，我们得到乘法法则：

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$_ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$_

独立

独立事件

如果事件$A$和$B$是独立的： $A$和$B$是**独立的 $P(B|A) = P(B)$_ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

含义：出现 $B$ 不影响 $A$ 的概率。

相互排斥与相互独立

• 相互排斥：$A \cap B = \emptyset$，不能同时出现
• 独立：$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$，独立出现

注：相互排斥的事件一般不独立（除非其中一个事件的概率为 0）

CSCA 练习题

###[Example 1] Basic (Difficulty ★★☆☆)

一个袋子里有 3 个红球和 2 个白球。抽出 2 个球，不替换： 1.第一个是红球的概率：$P(A)$_ 2.给定第一个球是红色，第二个球是红色的概率$P(B|A)$_

解：

1.$P(A) = \frac{3}{5}$_

2.画出红色后，剩下 2 红 2 白： $P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$_

答案：$P(A) = \frac{3}{5}$, $P(B|A) = \frac{1}{2}$

---

###[Example 2] Intermediate (Difficulty ★★★☆)

掷两枚公平的硬币。让：

• $A$：至少有一个正面
• $B$：两个头

求$P(B|A)$。

解：

样本空间：$\Omega = \{HH, HT, TH, TT\}$_

事件$A$：至少有一个人头，$A = \{HH, HT, TH\}$, $P(A) = \frac{3}{4}$_。

事件 $B$：两头，$B = \{HH\}$，$P(B) = \frac{1}{4}$

交叉点：$A \cap B = \{HH\}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$_

答案：$\frac{1}{3}$。

贝叶斯定理

$P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A|B_j)}$_

应用：给定 "果"，求 "因 "的概率

常见误解

❌ 误解 1：公式错误

错误：$P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$

正确：$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$_

❌ 错误概念 2：混淆 $P(A|B)$ 和 $P(B|A)$

错误：认为 $P(A|B) = P(B|A)$

正确：一般_$P(A|B) \neq P(B|A)$_

学习提示

1.✅ 理解定义：新样本空间中的概率 2.✅ 掌握公式：$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$_ 3.✅ 区分概念：互斥与独立 4.✅ 使用树形图：有助于可视化复杂问题

---

💡 考试提示：条件概率是 CSCA 概率的关键！必须深入理解。占概率问题的 30-40%。