方差fāngchā

核心概念

随机变量的方差衡量其取值围绕期望值（均值）的离散程度。

定义

对于期望值为 $\mu = E(X)$ 的随机变量 $X$：

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = E(X^2) - (E(X))^2$

符号

• $\text{Var}(X)$ 或 $V(X)$ - $X$ 的方差
• $\sigma^2$（sigma 平方）- 方差的常用符号
• $D(X)$ - 中国教材常用符号

两个公式

公式1：定义式

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$

公式2：计算式（更实用）

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

记忆口诀："平方的期望减期望的平方"

方差的性质

1. 非负性

$\text{Var}(X) \geq 0$

等号成立当且仅当 $X$ 为常数。

2. 常数因子

$\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

注意：系数要平方。

3. 加常数

$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$

加常数不改变离散程度。

4. 线性变换

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

5. 独立变量之和

若 $X$ 和 $Y$ 独立： $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

警告：对于相关变量不成立！

6. 常数的方差

$\text{Var}(c) = 0$

常见分布

分布	方差
伯努利分布 Bernoulli($p$)	$p(1-p)$
二项分布 Binomial($n, p$)	$np(1-p)$
离散均匀分布($\{1,...,n\}$)	$\dfrac{n^2-1}{12}$

CSCA练习题

💡 注：以下练习题基于CSCA考试大纲设计。

例题1：基础题（难度 ★★☆☆☆）

随机变量 $X$ 的分布为：

$X$	0	1	2
$P$	0.3	0.5	0.2

求 $\text{Var}(X)$。

解法：

先求 $E(X)$： $E(X) = 0(0.3) + 1(0.5) + 2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.4 = 0.9$

求 $E(X^2)$： $E(X^2) = 0^2(0.3) + 1^2(0.5) + 2^2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.8 = 1.3$

代入公式： $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1.3 - 0.81 = 0.49$

答案：$\text{Var}(X) = 0.49$

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例题2：中级（难度 ★★★☆☆）

若 $\text{Var}(X) = 4$，求 $\text{Var}(3X + 2)$。

解法：

利用性质 $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$： $\text{Var}(3X + 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36$

答案：$36$

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例题3：中级（难度 ★★★☆☆）

一枚公平硬币抛掷 100 次。设 $X$ 为正面朝上的次数，求 $\text{Var}(X)$。

解法：

$X$ 服从二项分布 Binomial($n=100$, $p=0.5$)。

$\text{Var}(X) = np(1-p) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25$

答案：$\text{Var}(X) = 25$

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例题4：高级（难度 ★★★★☆）

若 $E(X) = 2$，$E(X^2) = 8$，求 $\text{Var}(2X - 3)$。

解法：

先求 $\text{Var}(X)$： $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 8 - 4 = 4$

然后： $\text{Var}(2X - 3) = 2^2 \cdot \text{Var}(X) = 4 \times 4 = 16$

答案：$16$

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例题5：高级（难度 ★★★★★）

若 $X$ 和 $Y$ 独立，$\text{Var}(X) = 2$，$\text{Var}(Y) = 3$，求 $\text{Var}(2X - 3Y + 1)$。

解法：

利用性质： $\text{Var}(2X - 3Y + 1) = \text{Var}(2X - 3Y)$ $= \text{Var}(2X) + \text{Var}(-3Y)$（独立性） $= 4\text{Var}(X) + 9\text{Var}(Y)$ $= 4(2) + 9(3) = 8 + 27 = 35$

答案：$35$

标准差

标准差是方差的平方根： $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

标准差与 $X$ 具有相同的单位，更便于理解。

方差与期望的比较

性质	期望 $E(X)$	方差 $\text{Var}(X)$
度量	中心（位置）	离散程度
线性变换	$E(aX+b) = aE(X)+b$	$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$
求和	总是可加	仅当独立时可加

常见错误

❌ 错误1：忘记系数平方

错误：$\text{Var}(3X) = 3 \cdot \text{Var}(X)$ ✗

正确：$\text{Var}(3X) = 9 \cdot \text{Var}(X)$ ✓

❌ 错误2：对相关变量直接相加方差

错误：若 $X$ 和 $Y$ 相关，$\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ ✗

正确：只对独立变量成立 ✓

❌ 错误3：混淆方差与标准差

错误：二项分布 Binomial($n,p$) 的标准差是 $np(1-p)$ ✗

正确：方差是 $np(1-p)$；标准差是 $\sqrt{np(1-p)}$ ✓

学习要点

1. ✅ 用计算公式：$E(X^2) - (E(X))^2$ 通常更简便
2. ✅ 系数要平方：$\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X)$
3. ✅ 检查独立性：方差之和只对独立变量成立
4. ✅ 熟记二项分布方差：$np(1-p)$ 是高频考点

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💡 考试要点：计算方差时，先分别求 $E(X)$ 和 $E(X^2)$。计算公式比定义公式更不容易出错！