古典概型

真题怎么考

下面是考过这个概念的 CSCA 真题。先自己做一遍，再展开看答案和解析。

1. CSCA 2025年12月数学真题
   十二生肖又叫属相，是中国用来代表年份的十二种动物，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗和猪。比如在 1985、2009 年出生的人属相是牛。随机选出的三人中至少有两人属相相同的概率是（ ）。
   • A．$\frac{143}{144}$
   • B．$\frac{55}{72}$
   • C．$\frac{1}{12}$
   • D．$\frac{17}{72}$
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   答案：D

   答案：D 三人属相全不同的概率为 $\frac{12\cdot11\cdot10}{12^3}=\frac{55}{72}$，所求概率为 $1-\frac{55}{72}=\frac{17}{72}$。因此选 D。
   在整卷中查看：CSCA 2025年12月数学真题
2. CSCA 2026年4月数学真题
   袋中 12 个球，$P ($ 红 $) = \frac { 1 } { 3 } , P ($ 黄或绿 $) = \frac { 5 } { 12 } , P ($ 黑或黄 $) = \frac { 5 } { 12 }$ 。求 $P ($ 黄 $) , P ($ 黑 $) , P ($ 绿 $)$ 。
   • A．$\frac { 1 } { 6 } , \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 4 }$
   • B．$\frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 6 }$
   • C．$\frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 5 } , \frac { 1 } { 6 }$
   • D．$\frac { 1 } { 5 } , \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 6 }$
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   答案：A

   红球数 $= 12 \cdot \frac { 1 } { 3 } = 4$ ，故黄 + 黑 + 绿 $= 8$ 。由 $P ($ 黄或绿 $) = \frac { 5 } { 12 }$ 得黄 + 绿 $= 5$ ，所以黑 $= 8 - 5 = 3$ 。由 $P$（黑或黄）$= \frac { 5 } { 12 }$ 得黑 + 黄 $= 5$ ，所以黄 $= 5 - 3 = 2$ 。绿 $= 5 - 2 = 3$ 。概率：$P ($ 黄 $) = \frac { 2 } { 12 } = \frac { 1 } { 6 } , P ($ 黑 $) = \frac { 3 } { 12 } = \frac { 1 } { 4 } , P ($ 绿 $) = \frac { 3 } { 12 } = \frac { 1 } { 4 }$ 。
   计时做完整套：CSCA 2026年4月数学真题
3. CSCA 2026年6月数学真题
   有 $n$ 个带不同标签的白球和 $n$ 个带不同标签的红球。现从所有球中，不放回地依次随机抽取 $n$ 个球。设 $P(n)$ 为所选球的颜色交替出现的概率。颜色交替意味着所选 $n$ 个球的颜色为：第 1 个是白色，第 2 个是红色，第 3 个是白色，第 4 个是红色，依此类推；或者第 1 个球是红色，第 2 个是白色，第 3 个是红色，第 4 个是白色，依此类推。下列哪个关系是正确的？
   • A．$P(2) > P(4) > P(6)$
   • B．$P(2) < P(4) < P(6)$
   • C．$P(2) = P(4) = P(6)$
   • D．$P(4) > P(2) > P(6)$
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   答案：A

   按顺序取出 $n$ 个球，总取法数为 $\frac{(2n)!}{(2n-n)!} = \frac{(2n)!}{n!}$。$n$ 为偶数时，颜色交替有 2 种模式（白开头/红开头）；每种模式下 $n$ 个白球中选出 $\frac{n}{2}$ 个排入白色位置，取法为 $\binom{n}{n/2} \cdot \left( \frac{n}{2} \right)!$，红球同理。故有利取法数为 $2 \left[ \binom{n}{n/2} \left( \frac{n}{2} \right)! \right]^2$。分别计算：$n = 2$ 时，$P(2) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 0.667$；$n = 4$ 时，$P(4) = \frac{288}{1680} = \frac{6}{35} \approx 0.171$；$n = 6$ 时，$P(6) = \frac{28800}{665280} = \frac{10}{231} \approx 0.043$。故 $P(2) > P(4) > P(6)$，选 A。（快速验证：逐球抽取，第 2 个起每个球都须与前一球异色，$P(4) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{35}$，与上式一致；且 $n$ 越大交替越难，$P(n)$ 必随 $n$ 递减，也印证 A。） 编者注：原解析将 $\frac{288}{1680}$ 误约为 $\frac{24}{35}$（$\approx 0.686$），由此得出 $P(4) > P(2)$ 并选 D；正确约分为 $\frac{6}{35}$（$\approx 0.171$），正确答案为 A。
   计时做完整套：CSCA 2026年6月数学真题