Khái niệm cốt lõi
Công thức Viète (韦达定理) liên hệ các hệ số của đa thức với tổng và tích các nghiệm của nó.
Với phương trình bậc hai a x 2 + b x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 a x 2 + b x + c = 0 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2
x 1 + x 2 = − b a x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} x 1 + x 2 = − a b
x 1 ⋅ x 2 = c a x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} x 1 ⋅ x 2 = a c
Chứng minh
Từ công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
x 1 = − b + Δ 2 a , x 2 = − b − Δ 2 a x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} x 1 = 2 a − b + Δ , x 2 = 2 a − b − Δ
Tổng :
x 1 + x 2 = − b + Δ 2 a + − b − Δ 2 a = − 2 b 2 a = − b a x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a} x 1 + x 2 = 2 a − b + Δ + 2 a − b − Δ = 2 a − 2 b = − a b
Tích :
x 1 ⋅ x 2 = ( − b + Δ ) ( − b − Δ ) 4 a 2 = b 2 − Δ 4 a 2 = b 2 − ( b 2 − 4 a c ) 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b + \sqrt{\Delta})(-b - \sqrt{\Delta})}{4a^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a} x 1 ⋅ x 2 = 4 a 2 ( − b + Δ ) ( − b − Δ ) = 4 a 2 b 2 − Δ = 4 a 2 b 2 − ( b 2 − 4 a c ) = 4 a 2 4 a c = a c
Ứng dụng quan trọng
1. Tính biểu thức mà không cần giải phương trình
Tính các biểu thức liên quan đến nghiệm mà không cần tìm giá trị nghiệm thực tế.
Các công thức quan trọng :
x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2 x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2
x 1 3 + x 2 3 = ( x 1 + x 2 ) 3 − 3 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 ) x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) x 1 3 + x 2 3 = ( x 1 + x 2 ) 3 − 3 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 )
1 x 1 + 1 x 2 = x 1 + x 2 x 1 x 2 \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} x 1 1 + x 2 1 = x 1 x 2 x 1 + x 2
( x 1 − x 2 ) 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 ( x 1 − x 2 ) 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2
2. Lập phương trình từ nghiệm
Nếu α \alpha α β \beta β x 2 − ( α + β ) x + α β = 0 x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 x 2 − ( α + β ) x + α β = 0
Hoặc tương đương:
( x − α ) ( x − β ) = 0 (x - \alpha)(x - \beta) = 0 ( x − α ) ( x − β ) = 0
3. Xác định dấu của nghiệm
Không cần giải, xác định dấu của nghiệm:
Cả hai đều dương: x 1 + x 2 > 0 x_1 + x_2 > 0 x 1 + x 2 > 0 x 1 ⋅ x 2 > 0 x_1 \cdot x_2 > 0 x 1 ⋅ x 2 > 0
Cả hai đều âm: x 1 + x 2 < 0 x_1 + x_2 < 0 x 1 + x 2 < 0 x 1 ⋅ x 2 > 0 x_1 \cdot x_2 > 0 x 1 ⋅ x 2 > 0
Trái dấu: x 1 ⋅ x 2 < 0 x_1 \cdot x_2 < 0 x 1 ⋅ x 2 < 0
Bài tập thực hành CSCA
💡 Lưu ý : Các bài tập sau được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA.
Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)
Nếu x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 2 − 3 x − 4 = 0 x^2 - 3x - 4 = 0 x 2 − 3 x − 4 = 0 x 1 + x 2 x_1 + x_2 x 1 + x 2 x 1 ⋅ x 2 x_1 \cdot x_2 x 1 ⋅ x 2
Lời giải :
Theo công thức Viète với a = 1 a = 1 a = 1 b = − 3 b = -3 b = − 3 c = − 4 c = -4 c = − 4 x 1 + x 2 = − − 3 1 = 3 x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3 x 1 + x 2 = − 1 − 3 = 3 x 1 ⋅ x 2 = − 4 1 = − 4 x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{1} = -4 x 1 ⋅ x 2 = 1 − 4 = − 4
Đáp án: Tổng = 3, Tích = -4
Ví dụ 2: Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)
Nếu x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 2 x 2 + 5 x − 3 = 0 2x^2 + 5x - 3 = 0 2 x 2 + 5 x − 3 = 0 x 1 2 + x 2 2 x_1^2 + x_2^2 x 1 2 + x 2 2
Lời giải :
Theo công thức Viète:
x 1 + x 2 = − 5 2 , x 1 ⋅ x 2 = − 3 2 x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}, \quad x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{2} x 1 + x 2 = − 2 5 , x 1 ⋅ x 2 = − 2 3
Sử dụng đẳng thức:
x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2 x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2 = ( − 5 2 ) 2 − 2 ( − 3 2 ) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{3}{2}\right) = ( − 2 5 ) 2 − 2 ( − 2 3 ) = 25 4 + 3 = 25 4 + 12 4 = 37 4 = \frac{25}{4} + 3 = \frac{25}{4} + \frac{12}{4} = \frac{37}{4} = 4 25 + 3 = 4 25 + 4 12 = 4 37
Đáp án: 37 4 \dfrac{37}{4} 4 37
Ví dụ 3: Nâng cao (Độ khó ★★★★☆)
Nếu x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 2 − 4 x + 1 = 0 x^2 - 4x + 1 = 0 x 2 − 4 x + 1 = 0 x 1 x 2 + x 2 x 1 \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} x 2 x 1 + x 1 x 2
Lời giải :
Theo công thức Viète:
x 1 + x 2 = 4 , x 1 ⋅ x 2 = 1 x_1 + x_2 = 4, \quad x_1 \cdot x_2 = 1 x 1 + x 2 = 4 , x 1 ⋅ x 2 = 1
Rút gọn biểu thức:
x 1 x 2 + x 2 x 1 = x 1 2 + x 2 2 x 1 x 2 \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} x 2 x 1 + x 1 x 2 = x 1 x 2 x 1 2 + x 2 2
Tìm x 1 2 + x 2 2 x_1^2 + x_2^2 x 1 2 + x 2 2 x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2 = 16 − 2 = 14 x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 - 2 = 14 x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2 = 16 − 2 = 14
Do đó:
x 1 x 2 + x 2 x 1 = 14 1 = 14 \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{14}{1} = 14 x 2 x 1 + x 1 x 2 = 1 14 = 14
Đáp án: 14 14 14
Ví dụ 4: Nâng cao (Độ khó ★★★★☆)
Tìm phương trình bậc hai có hệ số nguyên có nghiệm là 2 + 3 2 + \sqrt{3} 2 + 3 2 − 3 2 - \sqrt{3} 2 − 3
Lời giải :
Tổng các nghiệm:
α + β = ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) = 4 \alpha + \beta = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4 α + β = ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) = 4
Tích các nghiệm:
α ⋅ β = ( 2 + 3 ) ( 2 − 3 ) = 4 − 3 = 1 \alpha \cdot \beta = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1 α ⋅ β = ( 2 + 3 ) ( 2 − 3 ) = 4 − 3 = 1
Phương trình là:
x 2 − 4 x + 1 = 0 x^2 - 4x + 1 = 0 x 2 − 4 x + 1 = 0
Đáp án: x 2 − 4 x + 1 = 0 x^2 - 4x + 1 = 0 x 2 − 4 x + 1 = 0
Ví dụ 5: Nâng cao (Độ khó ★★★★★)
Nếu một nghiệm của x 2 + p x + q = 0 x^2 + px + q = 0 x 2 + p x + q = 0 p p p q q q
Lời giải :
Đặt các nghiệm là r r r 2 r 2r 2 r
Theo công thức Viète:
r + 2 r = 3 r = − p r + 2r = 3r = -p r + 2 r = 3 r = − p r ⋅ 2 r = 2 r 2 = q r \cdot 2r = 2r^2 = q r ⋅ 2 r = 2 r 2 = q
Biết tổng = 6:
3 r = 6 ⇒ r = 2 3r = 6 \Rightarrow r = 2 3 r = 6 ⇒ r = 2
Do đó:
p = − 3 r = − 6 p = -3r = -6 p = − 3 r = − 6 q = 2 r 2 = 2 ( 4 ) = 8 q = 2r^2 = 2(4) = 8 q = 2 r 2 = 2 ( 4 ) = 8
Đáp án: p = − 6 p = -6 p = − 6 q = 8 q = 8 q = 8
Công thức Viète mở rộng
Với phương trình bậc ba a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 x 1 , x 2 , x 3 x_1, x_2, x_3 x 1 , x 2 , x 3
x 1 + x 2 + x 3 = − b a x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} x 1 + x 2 + x 3 = − a b x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = c a x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a} x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = a c x 1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 = − d a x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a} x 1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 = − a d
Lỗi thường gặp
❌ Lỗi 1: Sai dấu cho tổng
Sai : x 1 + x 2 = b a x_1 + x_2 = \frac{b}{a} x 1 + x 2 = a b
Đúng : x 1 + x 2 = − b a x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} x 1 + x 2 = − a b
❌ Lỗi 2: Giả sử nghiệm là số thực
Công thức Viète vẫn đúng ngay cả khi Δ < 0 \Delta < 0 Δ < 0 Δ ≥ 0 \Delta \geq 0 Δ ≥ 0
❌ Lỗi 3: Điều kiện nghiệm không đầy đủ
Cho "cả hai nghiệm đều dương": cần đồng thời x 1 + x 2 > 0 x_1 + x_2 > 0 x 1 + x 2 > 0 và x 1 ⋅ x 2 > 0 x_1 \cdot x_2 > 0 x 1 ⋅ x 2 > 0 và Δ ≥ 0 \Delta \geq 0 Δ ≥ 0
Mẹo học tập
✅ Ghi nhớ dấu : tổng có dấu âm, tích thì không
✅ Học các phép biến đổi thông dụng : x 1 2 + x 2 2 x_1^2 + x_2^2 x 1 2 + x 2 2 1 x 1 + 1 x 2 \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} x 1 1 + x 2 1
✅ Kết hợp với biệt thức : cho điều kiện nghiệm thực
✅ Luyện bài ngược : tìm phương trình từ nghiệm đã cho
💡 Mẹo thi : Công thức Viète được kiểm tra thường xuyên trong CSCA. Thành thạo các phép biến đổi cho x 1 2 + x 2 2 x_1^2 + x_2^2 x 1 2 + x 2 2 1 x 1 + 1 x 2 \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} x 1 1 + x 2 1