排列páiliè

Khái niệm cơ bản Một hoán vị là cách sắp xếp $m$ phần tử ($m \leq n$) được chọn từ $n$ phần tử khác nhau theo một thứ tự cụ thể.

Đặc điểm chính 1. Thứ tự quan trọng: Các thứ tự khác nhau được coi là các hoán vị khác nhau 2. Không lặp lại: Mỗi phần tử được sử dụng tối đa một lần 3. Chọn lựa: Chọn $m$ từ $n$ phần tử ($m \leq n$)

Công thức hoán vị ### Hoán vị tổng quát Số hoán vị của $m$ phần tử từ $n$ phần tử khác nhau, được ký hiệu là $A_n^m$ hoặc $P_n^m$ hoặc $P(n,m)$: $A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

Hiểu biết: - Vị trí 1: $n$ lựa chọn - Vị trí 2: $n-1$ lựa chọn - ... - Vị trí $m$: $n-m+1$ lựa chọn Theo nguyên lý nhân: $A_n^m = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m+1)$

Hoán vị đầy đủ Khi $m = n$, gọi là hoán vị đầy đủ: $A_n^n = n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$ Quy ước: $0! = 1$

Giá trị chung | $n$ | $n!$ | |-----|------| | $0$ | $1$ | | $1$ | $1$ |

| $2$ | $2$ | | $3$ | $6$ | | $4$ | $24$ | | $5$ | $120$ | | $6$ | $720$ | ## Phép hoán vị đặc biệt ### 1. Số hoán vị không trùng lặp: Số phép hoán vị mà không có phần tử nào ở vị trí ban đầu: $D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!}\right)$

Xấp xỉ: $D_n \approx \frac{n!}{e}$ ### 2. Hoán vị tròn Sắp xếp $n$ phần tử khác nhau trên một vòng tròn: $Q_n = \frac{A_n^n}{n} = (n-1)!$ (Không có điểm bắt đầu cố định, chia cho $n$) ### 3. Hoán vị có lặp lại

$n$ phần tử với $n_1$ phần tử giống nhau, $n_2$ phần tử giống nhau, ..., $n_k$ phần tử giống nhau ($n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$): $\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$ ## Kỹ thuật tính toán

Kỹ thuật 1: Nhân từng bước Ví dụ: Chọn 3 người từ 10 người để làm tổng thống, phó tổng thống và thư ký. Có bao nhiêu cách? Giải pháp: - Tổng thống: 10 lựa chọn - Phó tổng thống: 9 lựa chọn - Thư ký: 8 lựa chọn Câu trả lời: $10 \times 9 \times 8 = 720$

Kỹ thuật 2: Xử lý các yếu tố đặc biệt trước Ví dụ: 5 người xếp hàng, người A phải đứng đầu tiên. Có bao nhiêu cách? Giải pháp: - Người A cố định ở vị trí đầu tiên: 1 cách - Xếp hạng 4 người còn lại: $4! = 24$ Câu trả lời: $1 \times 24 = 24$

Kỹ thuật 3: Đếm bổ sung Ví dụ: 5 người xếp hàng, A và B không liền kề. Có bao nhiêu cách? Giải pháp: - Tổng số cách sắp xếp: $5! = 120$ - A và B liền kề (xem như một cách): $2! \times 4! = 48$

• Không liền kề: $120 - 48 = 72$ Câu trả lời: $72$ ## Bài tập thực hành CSCA ### [Ví dụ 1] Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆) Tính $A_6^3$. Giải pháp:

$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ Hoặc $A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 120$ Câu trả lời: $120$ --- ### [Ví dụ 2] Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆) 5 người xếp hàng chụp ảnh, A và B phải đứng cạnh nhau. Có bao nhiêu cách?

Giải pháp: Phương pháp nhóm: 1. Xem A và B là một đơn vị, sắp xếp 4 đơn vị: $4! = 24$ 2. Sắp xếp A và B bên trong: $2! = 2$ Câu trả lời: $24 \times 2 = 48$ ## Những hiểu lầm phổ biến

❌ Sai lầm 1: Nhầm lẫn giữa hoán vị và tổ hợp Sai: Không xem xét thứ tự, coi hoán vị là tổ hợp Đúng: Hoán vị là có thứ tự, tổ hợp là không có thứ tự ### ❌ Sai lầm 2: Quên các điều kiện đặc biệt Sai: Bỏ qua điều kiện như "chữ số đầu tiên không thể là 0" Đúng: Xử lý các vị trí hoặc phần tử đặc biệt trước ## Mối quan hệ với tổ hợp $A_n^m = C_n^m \times m!$ Hiểu biết: - Chọn $m$ từ $n$: $C_n^m$

• Sắp xếp các phần tử $m$: $m!$ ## Mẹo học tập 1. ✅ Hiểu bản chất: Hoán vị nhấn mạnh thứ tự 2. ✅ Nắm vững công thức: $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

3. ✅ Thực hành kỹ thuật: Xử lý các phần tử đặc biệt trước, nhóm, chèn, bổ sung 4. ✅ Phân tích trường hợp: Các vấn đề phức tạp yêu cầu phân loại --- 💡 Mẹo thi: Hoán vị là nền tảng của tổ hợp, bắt buộc trong CSCA! Chiếm khoảng 40% các bài toán đếm. Nắm vững phân tích trường hợp và kỹ thuật xử lý đặc biệt là chìa khóa