排列páiliè

Khái niệm cơ bản

Một hoán vị là cách sắp xếp$m$

phần tử ($m \leq n$

) được chọn từ phần tử$n$

khác nhau theo một thứ tự cụ thể.

Đặc điểm chính

1. Thứ tự quan trọng: Các thứ tự khác nhau được coi là các hoán vị khác nhau
2. Không lặp lại: Mỗi phần tử được sử dụng tối đa một lần
3. Chọn lọc: Chọn$m$

từ$n$

phần tử ($m \leq n$

)

Công thức hoán vị

Hoán vị tổng quát

Số hoán vị của$m$

phần tử từ phần tử$n$

khác nhau, được ký hiệu là$A_n^m$

hoặc$P_n^m$

hoặc$P(n,m)$

:

$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

Hiểu biết:

• Vị trí 1:$n$

lựa chọn

• Vị trí 2:$n-1$

lựa chọn

• ...
• Vị trí$m$

:$n-m+1$

lựa chọn

Theo nguyên lý nhân: $A_n^m = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m+1)$

Hoán vị đầy đủ

Khi$m = n$

, gọi là hoán vị đầy đủ:

$A_n^n = n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

Quy ước:

$0! = 1$

Giá trị thông dụng

|$n$

|$n!$

| |-----|------| |$0$

|$1$

| |$1$

|$1$

| |$2$

|$2$

| |$3$

|$6$

| |$4$

|$24$

| |$5$

|$120$

| |$6$

|$720$

|

Hoán vị đặc biệt

1. Hoán vị không trùng lặp

Số hoán vị trong đó không có phần tử nào ở vị trí ban đầu:

$D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!}\right)$

Xấp xỉ: $D_n \approx \frac{n!}{e}$

2. Hoán vị vòng tròn

Sắp xếp phần tử khác$n$

nhau thành một vòng tròn:

$Q_n = \frac{A_n^n}{n} = (n-1)!$

(Không có điểm bắt đầu cố định, chia cho$n$

)

3. Hoán vị có lặp lại

$n$

các phần tử với$n_1$

cùng loại,$n_2$

cùng loại, ...,$n_k$

cùng loại ($n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$

):

$\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$

Kỹ thuật tính toán

Kỹ thuật 1: Nhân từng bước

Ví dụ: Chọn 3 người từ 10 để làm chủ tịch, phó chủ tịch và thư ký. Có bao nhiêu cách?

Giải pháp:

• Tổng thống: 10 lựa chọn
• Phó tổng thống: 9 lựa chọn
• Thư ký: 8 lựa chọn

Câu trả lời: $10 \times 9 \times 8 = 720$

Kỹ thuật 2: Xử lý các phần tử đặc biệt trước

Ví dụ: 5 người xếp hàng, người A phải đứng đầu tiên. Có bao nhiêu cách?

Giải pháp:

• Vị trí đầu tiên cố định: 1 cách
• Sắp xếp 4 người còn lại:

$4! = 24$

Câu trả lời: $1 \times 24 = 24$

Kỹ thuật 3: Đếm bổ sung

Ví dụ: 5 người xếp hàng, A và B không liền kề. Có bao nhiêu cách?

Giải pháp:

• Tổng số cách sắp xếp: $5! = 120$

• A và B liền kề (xem như một cách): $2! \times 4! = 48$

• Không liền kề:$120 - 48 = 72$

Câu trả lời: $72$

Bài tập thực hành CSCA

[Ví dụ 1] Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Tính$A_6^3$

.

Giải pháp: Hoặc

$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$

$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 120$

Câu trả lời:

---$120$

[Ví dụ 2] Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

5 người xếp hàng chụp ảnh, A và B phải đứng cạnh nhau. Có bao nhiêu cách?

Giải pháp:

Phương pháp nhóm:

1. Xem A và B là một đơn vị, sắp xếp 4 đơn vị: $4! = 24$

2. Sắp xếp A và B bên trong:

$2! = 2$

Câu trả lời:$24 \times 2 = 48$

Những hiểu lầm phổ biến

❌ Hiểu lầm 1: Nhầm lẫn giữa hoán vị và tổ hợp

Sai: Không xem xét thứ tự, coi hoán vị là tổ hợp

Đúng: Hoán vị là có thứ tự, tổ hợp là không có thứ tự

❌ Sai lầm 2: Quên các điều kiện đặc biệt

Sai: Bỏ qua các điều kiện như "chữ số đầu tiên không được là 0"

Đúng: Xử lý các vị trí hoặc phần tử đặc biệt trước

Mối quan hệ với tổ hợp

**Hiểu

$A_n^m = C_n^m \times m!$

biết**:

• Chọn$m$

từ$n$

: $C_n^m$

• Sắp xếp các$m$

phần tử này: $m!$

Mẹo học tập

1. ✅ Hiểu bản chất: Hoán vị nhấn mạnh thứ tự

2. ✅ Nắm vững công thức:$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

3. ✅ Thực hành kỹ thuật: Xử lý các phần tử đặc biệt trước, nhóm, chèn, bổ sung

4. ✅ Phân tích trường hợp: Các vấn đề phức tạp yêu cầu phân loại

---

💡 Mẹo thi: Hoán vị là nền tảng của tổ hợp, bắt buộc trong CSCA! Chiếm khoảng 40% các bài toán đếm. Nắm vững phân tích trường hợp và kỹ thuật xử lý đặc biệt là chìa khóa.