组合zǔhé

Khái niệm cơ bản Một kết hợp là việc chọn ra $m$ phần tử ($m \leq n$) từ $n$ phần tử khác nhau không quan tâm đến thứ tự.

Đặc điểm chính 1. Thứ tự không quan trọng: Các phần tử giống nhau trong các thứ tự khác nhau được coi là một tổ hợp 2. Không lặp lại: Mỗi phần tử chỉ được sử dụng tối đa một lần 3. Lựa chọn: Chọn $m$ từ $n$ phần tử ($m \leq n$)

Sự khác biệt so với hoán vị - Hoán vị: Có thứ tự, $\{A, B, C\}$ và $\{B, A, C\}$ là khác nhau - Kết hợp: Không có thứ tự, $\{A, B, C\}$ và $\{B, A, C\}$ là giống nhau ## Công thức kết hợp

Số tổ hợp của $m$ phần tử từ $n$ phần tử khác nhau, được ký hiệu là $C_n^m$ hoặc $\binom{n}{m}$ hoặc $C(n,m)$: $C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

Hiểu biết: - Sắp xếp trước: $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$ - Loại bỏ thứ tự bên trong: $A_m^m = m!$ - Kết quả: $C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ ## Tính chất của tổ hợp ### 1. Đối xứng $C_n^m = C_n^{n-m}$

Ý nghĩa: Chọn $m$ từ $n$ = Bỏ qua $n-m$ từ $n$ ### 2. Định lý Pascal $C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$

Ý nghĩa: Bao gồm phần tử cụ thể + Loại trừ phần tử cụ thể ### 3. Giá trị đặc biệt - $C_n^0 = 1$ (chọn không, một cách) - $C_n^1 = n$ (chọn một, $n$ lựa chọn) - $C_n^n = 1$ (chọn tất cả, một cách)

4. Tổng nhị thức $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n$ (Tổng số cách chọn bất kỳ số phần tử nào từ $n$) ## Kỹ thuật tính toán ### Kỹ thuật 1: Sử dụng đối xứng $C_{100}^{98} = C_{100}^{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$ ### Kỹ thuật 2: Định lý Pascal

$C_5^3 = C_4^2 + C_4^3 = 6 + 4 = 10$ ### Kỹ thuật 3: Giản lược bằng cách hủy bỏ $C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ ## Bài tập thực hành CSCA ### [Ví dụ 1] Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆) Tính $C_7^3$.

Giải pháp: $C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ Câu trả lời: $35$ --- ### [Ví dụ 2] Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆) Từ 10 nam và 8 nữ, chọn 5 người để tạo thành một đội có ít nhất 2 nữ. Có bao nhiêu cách?

Giải pháp: Phân tích trường hợp: Trường hợp 1: 2 nữ, 3 nam: $C_8^2 \cdot C_{10}^3 = 28 \times 120 = 3360$ Trường hợp 2: 3 nữ, 2 nam: $C_8^3 \cdot C_{10}^2 = 56 \times 45 = 2520$

Trường hợp 3: 4 nữ, 1 nam: $C_8^4 \cdot C_{10}^1 = 70 \times 10 = 700$ Trường hợp 4: 5 nữ, 0 nam: $C_8^5 = 56$ Câu trả lời: $3360 + 2520 + 700 + 56 = 6636$ ## Những hiểu lầm phổ biến

❌ Sai lầm 1: Nhầm lẫn giữa tổ hợp và hoán vị Sai: Sử dụng $C_n^5$ để sắp xếp 5 người thành hàng Đúng: Hàng có thứ tự, nên sử dụng $A_n^5$ ### ❌ Sai lầm 2: Quên phân tích trường hợp

Sai: Tính trực tiếp "ít nhất 2 cô gái" Đúng: Phân tích theo trường hợp: 2 cô gái, 3 cô gái, 4 cô gái, 5 cô gái ## Mối quan hệ với hoán vị $A_n^m = C_n^m \times m!$ $C_n^m = \frac{A_n^m}{m!}$ ## Mẹo học tập

1. ✅ Hiểu bản chất: Tổ hợp bỏ qua thứ tự 2. ✅ Nắm vững công thức: $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ 3. ✅ Nhớ các tính chất: Đối xứng, Định lý Pascal 4. ✅ Phân tích trường hợp: "Ít nhất", "nhiều nhất" yêu cầu phân tích trường hợp
2. ✅ Phân biệt với hoán vị: Kiểm tra xem thứ tự có quan trọng hay không --- 💡 Mẹo thi: Tổ hợp là chìa khóa của lý thuyết tổ hợp, bắt buộc trong CSCA! Chiếm khoảng 60% các bài toán đếm. Phân tích trường hợp và nguyên lý bao trùm-loại trừ là các kỹ thuật thiết yếu