组合zǔhé

Khái niệm cơ bản

Một tổ hợp là việc chọn ra$m$

phần tử ($m \leq n$

) từ phần tử$n$

khác nhau không quan tâm đến thứ tự.

Đặc điểm chính

1. Thứ tự không quan trọng: Các phần tử giống nhau ở các thứ tự khác nhau được coi là một tổ hợp
2. Không lặp lại: Mỗi phần tử chỉ được sử dụng tối đa một lần
3. Lựa chọn: Chọn$m$

từ$n$

phần tử ($m \leq n$

)

Sự khác biệt so với hoán vị

• Hoán vị: Có thứ tự,$\{A, B, C\}$

và$\{B, A, C\}$

là khác nhau

• Kết hợp: Không có thứ tự,$\{A, B, C\}$

và$\{B, A, C\}$

là giống nhau

Công thức kết hợp

Số tổ hợp của$m$

phần tử từ phần tử$n$

khác nhau, được ký hiệu là$C_n^m$

hoặc$\binom{n}{m}$

hoặc$C(n,m)$

:

$C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

Hiểu biết:

• Sắp xếp trước: $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

• Loại bỏ thứ tự bên trong: $A_m^m = m!$

• Kết quả:$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

Tính chất của tổ hợp

1. Đối xứng

$C_n^m = C_n^{n-m}$

Ý nghĩa: Chọn$m$

từ$n$

= Chọn$n-m$

từ$n$

2. Định lý Pascal

$C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$

Ý nghĩa: Bao gồm phần tử cụ thể + Loại trừ phần tử cụ thể

3. Giá trị đặc biệt

-$C_n^0 = 1$

(chọn không, một cách) -$C_n^1 = n$

(chọn một,$n$

lựa chọn) -$C_n^n = 1$

(chọn tất cả, một cách)

4. Tổng nhị thức$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n$

(Tổng số cách chọn bất kỳ số phần tử nào từ$n$

)

Kỹ thuật tính toán

Kỹ thuật 1: Sử dụng đối

$C_{100}^{98} = C_{100}^{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$

xứng### Kỹ thuật 2: Định lý

$C_5^3 = C_4^2 + C_4^3 = 6 + 4 = 10$

Pascal### Kỹ thuật 3: Giản lược bằng cách hủy bỏ

$C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

Bài tập thực hành CSCA

[Ví dụ 1] Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Tính$C_7^3$

.

Giải pháp:

$C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

Câu trả lời:

---$35$

[Ví dụ 2] Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

Từ 10 nam và 8 nữ, chọn 5 người cho một đội với ít nhất 2 nữ. Có bao nhiêu cách?

Giải pháp:

Phân tích trường hợp:

Trường hợp 1: 2 nữ, 3 nam:

**Trường$C_8^2 \cdot C_{10}^3 = 28 \times 120 = 3360$

hợp 2**: 3 nữ, 2 nam:

$C_8^3 \cdot C_{10}^2 = 56 \times 45 = 2520$

Trường hợp 3: 4 nữ, 1 nam:

$C_8^4 \cdot C_{10}^1 = 70 \times 10 = 700$

Trường hợp 4: 5 nữ, 0 nam:

$C_8^5 = 56$

Câu trả lời: $3360 + 2520 + 700 + 56 = 6636$

Những hiểu lầm phổ biến

❌ Sai lầm 1: Nhầm lẫn giữa tổ hợp và hoán vị

Sai: Sử dụng$C_n^5$

để sắp xếp 5 người thành hàng

Đúng: Hàng có thứ tự, nên sử dụng$A_n^5$

❌ Sai lầm 2: Quên phân tích trường hợp

Sai: Tính trực tiếp "ít nhất 2 cô gái"

Đúng: Phân chia thành các trường hợp: 2 cô gái, 3 cô gái, 4 cô gái, 5 cô gái

Mối quan hệ với hoán vị

$A_n^m = C_n^m \times m!$

$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!}$

Mẹo học tập

1. ✅ Hiểu bản chất: Tổ hợp không quan tâm đến thứ tự

2. ✅ Nắm vững công thức:$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

3. ✅ Nhớ các tính chất: Đối xứng, Định lý Pascal

4. ✅ Phân tích trường hợp: "Ít nhất", "nhiều nhất" yêu cầu phân tích trường hợp

5. ✅ Phân biệt với hoán vị: Kiểm tra xem thứ tự có quan trọng hay không

---

💡 Mẹo thi: Tổ hợp là chìa khóa của lý thuyết tổ hợp, bắt buộc trong CSCA! Chiếm khoảng 60% các bài toán đếm. Phân tích trường hợp và nguyên lý bao trùm-loại trừ là các kỹ thuật thiết yếu.