等差数列děngchā shùliè

Khái niệm cơ bản Dãy số cộng (等差数列) là một trong những loại dãy số cơ bản nhất trong toán học. Bắt đầu từ hạng tử thứ hai, hiệu giữa bất kỳ hạng tử nào và hạng tử liền trước nó bằng một hằng số cố định, gọi là hiệu số chung (公差), thường được ký hiệu bằng $d$. ### Định nghĩa toán học

Đối với một dãy $\{a_n\}$, nếu tồn tại một hằng số $d$ sao cho: $a_{n+1} - a_n = d \quad (n \in \mathbb{N}^*)$ Thì dãy $\{a_n\}$ được gọi là dãy số học, với $d$ là hằng số chênh lệch. ### Công thức số hạng tổng quát

Hằng số thứ $n$ của một dãy số học có thể được biểu diễn bằng hằng số đầu tiên $a_1$ và khoảng cách chung $d$: $a_n = a_1 + (n-1)d$ Đạo hàm: - $a_2 = a_1 + d$ - $a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$

• $a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$ - ... - $a_n = a_1 + (n-1)d$ ### Công thức tổng Tổng của $n$ số hạng đầu tiên có hai công thức thông dụng: Công thức 1 (sử dụng số hạng đầu tiên và cuối cùng): $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Công thức 2 (sử dụng số hạng đầu tiên và khoảng cách chung): $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$ ## Tính chất quan trọng ### Tính chất 1: Trung bình cộng Nếu $a$, $b$, $c$ tạo thành một dãy số cộng, thì: $b = \frac{a + c}{2}$ Tức là, $b$ là trung bình cộng của $a$ và $c$.

Tính chất 2: Tính chất chỉ số Nếu $m + n = p + q$ (nơi $m, n, p, q \in \mathbb{N}^*$), thì: $a_m + a_n = a_p + a_q$ Đặc biệt, nếu $m + n = 2p$, thì: $a_m + a_n = 2a_p$ ### Tính chất 3: Tính chất tổng

Tổng của $n$ thuật ngữ đầu tiên có thể được xem như $n$ lần trung bình của thuật ngữ đầu tiên và cuối cùng: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ## Ứng dụng thực tế ### Ứng dụng 1: Tiết kiệm ngân hàng Vấn đề: Ming tiết kiệm 500 nhân dân tệ mỗi tháng trong 12 tháng. Tổng số tiền tiết kiệm sau 12 tháng là bao nhiêu? Phân tích: Các khoản gửi hàng tháng tạo thành một dãy số học với $a_1 = 500$, $d = 500$, $n = 12$. Giải pháp: $S_{12} = \frac{12 \times (500 + 6500)}{2} = 42,000 \text{ yuan}$

Ứng dụng 2: Ghế ngồi trong rạp hát Vấn đề: Rạp hát có 20 ghế ở hàng đầu tiên. Mỗi hàng tiếp theo có thêm 2 ghế so với hàng trước. Nếu có 30 hàng, tổng số ghế là bao nhiêu? Phân tích: - Số hạng đầu tiên $a_1 = 20$ - Phần chênh lệch chung $d = 2$

• Số hạng $n = 30$ Giải pháp: $S_{30} = 30 \times 20 + \frac{30 \times 29}{2} \times 2 = 600 + 870 = 1,470 \text{ seats}$ ## Bài tập thực hành CSCA > 💡 Lưu ý: Các bài tập thực hành sau đây được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA và định dạng bài thi tiêu chuẩn của Trung Quốc để giúp học sinh làm quen với các loại câu hỏi và phương pháp giải quyết vấn đề.

Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆) Trong một dãy số học $\{a_n\}$, $a_3 = 7$ và $a_7 = 15$. Tìm $a_{10}$. Các phương án: - A. 19

• B. 21 - C. 23 - D. 25 Giải chi tiết: Phương pháp 1: Sử dụng công thức tổng quát 1. Từ công thức tổng quát: - $a_3 = a_1 + 2d = 7$ ... ① - $a_7 = a_1 + 6d = 15$ ... ②

2. ② - ① cho: $4d = 8$, nên $d = 2$ 3. Thay vào ①: $a_1 + 4 = 7$, nên $a_1 = 3$ 4. $a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21$ Câu trả lời: B ---

Ví dụ 2: Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆) Trong một dãy số học $\{a_n\}$, $S_5 = 25$ và $S_{10} = 100$. Tìm $S_{15}$. Các lựa chọn: - A. 175

• B. 200 - C. 225 - D. 250 Giải chi tiết: Phương pháp: Sử dụng tính chất rằng $S_5$, $S_{10} - S_5$ và $S_{15} - S_{10}$ cũng tạo thành một dãy số học:

• $S_5 = 25$ - $S_{10} - S_5 = 100 - 25 = 75$ - Khoảng cách chung: $75 - 25 = 50$ Do đó: $S_{15} - S_{10} = 75 + 50 = 125$ $S_{15} = 100 + 125 = 225$ Câu trả lời: C ## Lỗi thường gặp

❌ Sai lầm 1: Phân số chung có thể bằng không không? Trả lời: Về mặt toán học, khi $d = 0$, dãy là một dãy hằng số, vốn là một dãy số học về mặt kỹ thuật. Tuy nhiên, trong các kỳ thi CSCA, "dãy số học" thường ngụ ý $d \neq 0$ trừ khi có quy định khác.

❌ Sai lầm 2: Dãy số học có luôn tăng không? Trả lời: Không hẳn! - $d > 0$ → dãy số tăng - $d < 0$ → dãy số giảm - $d = 0$ → dãy số hằng số

❌ Lỗi 3: Nhầm lẫn với dãy số hình học Sự khác biệt chính: - Dãy số cộng: khoảng cách giữa các hạng liên tiếp là hằng số ($a_{n+1} - a_n = d$) - Dãy số nhân: tỷ lệ giữa các hạng liên tiếp là hằng số ($\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$) ## Mẹo học tập

1. ✅ Nắm vững công thức - Công thức số hạng tổng quát và tổng là cơ bản 2. ✅ Hiểu khoảng cách chung - Nó có thể là dương, âm hoặc bằng không 3. ✅ Luyện tập các tính chất - Đặc biệt là trung bình cộng và tính chất chỉ số 4. ✅ Giải các bài toán đa dạng - Dãy số cộng thường kết hợp với hàm số và bất đẳng thức
2. ✅ So sánh với dãy số hình học - Hiểu rõ sự khác biệt --- 💡 Mẹo thi: Dãy số cộng là một chủ đề thường xuất hiện trong các kỳ thi toán CSCA, chiếm khoảng 60% câu hỏi về dãy số. Hãy luyện tập 2-3 bài toán liên quan mỗi ngày để đảm bảo nắm vững