arithmetic sequence | CSCA Math Glossary

Khái niệm cơ bản

Dãy số cộng (等差数列) là một trong những loại dãy số cơ bản nhất trong toán học. Bắt đầu từ hạng tử thứ hai, hiệu giữa bất kỳ hạng tử nào và hạng tử liền trước nó bằng một hằng số cố định, gọi là hiệu số chung (公差), thường được ký hiệu bằng $d$

Định nghĩa toán học

Đối với một dãy $\{a_n\}$

, nếu tồn tại một hằng số $d$

sao cho:

$a_{n+1} - a_n = d \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

Thì dãy $\{a_n\}$

được gọi là dãy số học, với $d$

là hằng số chênh lệch.

Công thức số hạng chung

Số hạng $n$

thứ - của một dãy số học có thể được biểu diễn bằng số hạng đầu tiên $a_1$

và hằng số chênh lệch $d$

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Dẫn xuất:

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$

$a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Công thức tổng

Tổng của hạng đầu $n$

tiên có hai công thức thông dụng:

Công thức 1 (sử dụng hạng đầu tiên và hạng cuối cùng): $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Công thức 2 (sử dụng hạng đầu tiên và khoảng cách chung):

$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$

Tính chất quan trọng

Tính chất 1: Trung bình cộng

Nếu $a$

, $b$

, $c$

tạo thành một dãy số cộng, thì: $b = \frac{a + c}{2}$

Tức là $b$

là trung bình cộng của $a$

và $c$

Tính chất 2: Tính chất chỉ số

Nếu $m + n = p + q$

(với $m, n, p, q \in \mathbb{N}^*$

), thì:

Đặc $a_m + a_n = a_p + a_q$

biệt, nếu $m + n = 2p$

, thì:

$a_m + a_n = 2a_p$

Tính chất 3: Tính chất tổng

Tổng của hạng đầu $n$

tiên có thể được xem là $n$

lần trung bình của hạng đầu tiên và hạng cuối cùng:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Ứng dụng thực tế

Ứng dụng 1: Tiết kiệm ngân hàng

Vấn đề: Ming tiết kiệm 500 nhân dân tệ mỗi tháng trong 12 tháng. Tổng số tiền tiết kiệm sau 12 tháng là bao nhiêu?

Phân tích: Các khoản tiết kiệm hàng tháng tạo thành một dãy số học với $a_1 = 500$

, $d = 500$

, $n = 12$

Giải pháp: $S_{12} = \frac{12 \times (500 + 6500)}{2} = 42,000 \text{ yuan}$

Ứng dụng 2: Ghế ngồi trong rạp hát

Vấn đề: Một rạp hát có 20 ghế ở hàng đầu tiên. Mỗi hàng tiếp theo có thêm 2 ghế so với hàng trước. Nếu có 30 hàng, tổng số ghế là bao nhiêu?

Phân tích:

Số hạng đầu tiên $a_1 = 20$
Phần chênh lệch $d = 2$

chung

Số hạng $n = 30$

Giải pháp: $S_{30} = 30 \times 20 + \frac{30 \times 29}{2} \times 2 = 600 + 870 = 1,470 \text{ seats}$

Bài tập thực hành CSCA

> 💡 Lưu ý: Các bài tập thực hành sau đây được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA và định dạng bài thi tiêu chuẩn của Trung Quốc để giúp học sinh làm quen với các loại câu hỏi và phương pháp giải bài.

Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Trong dãy số cộng $\{a_n\}$

, $a_3 = 7$

và $a_7 = 15$

. Tìm $a_{10}$

Các phương án:

A. 19
B. 21
C. 23
D. 25

Giải chi tiết:

Phương pháp 1: Sử dụng công thức số hạng chung

Từ công thức số hạng chung: - $a_3 = a_1 + 2d = 7$

... ① - $a_7 = a_1 + 6d = 15$

... ②

② - ① cho: $4d = 8$

, nên $d = 2$

Thay vào ①: $a_1 + 4 = 7$

, nên $a_1 = 3$

$a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21$

Câu trả lời: B

Ví dụ 2: Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

Trong một dãy số học $\{a_n\}$

, $S_5 = 25$

và $S_{10} = 100$

. Tìm $S_{15}$

Các phương án:

A. 175
B. 200
C. 225
D. 250

Giải chi tiết:

Phương pháp: Sử dụng tính chất rằng $S_5$

, $S_{10} - S_5$

, và $S_{15} - S_{10}$

cũng tạo thành một dãy số học:

$S_5 = 25$

$S_{10} - S_5 = 100 - 25 = 75$

Khoảng cách chung:

Vì $75 - 25 = 50$

vậy:

$S_{15} - S_{10} = 75 + 50 = 125$

$S_{15} = 100 + 125 = 225$

Câu trả lời: C

Lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1: Khoảng cách chung có thể bằng không không?

Trả lời: Về mặt toán học, khi $d = 0$

, dãy số là một dãy số hằng, vốn là một dãy số cộng theo nghĩa kỹ thuật. Tuy nhiên, trong các kỳ thi CSCA, "dãy số cộng" thường ngụ ý $d \neq 0$

trừ khi có quy định khác.

❌ Lỗi 2: Dãy số cộng có luôn tăng không?

Trả lời: Không hẳn! - $d > 0$

→ dãy số tăng - $d < 0$

→ dãy số giảm - $d = 0$

→ dãy số hằng số

❌ Sai lầm 3: Nhầm lẫn với dãy số hình học

Sự khác biệt chính:

Dãy số cộng: khoảng cách giữa các hạng liên tiếp là hằng số ( $a_{n+1} - a_n = d$

)

Dãy số hình học: tỷ lệ giữa các hạng liên tiếp là hằng số ( $\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$

)

Mẹo học tập

✅ Nắm vững công thức - Công thức số hạng tổng quát và tổng là cơ bản
✅ Hiểu khoảng cách chung - Nó có thể là dương, âm hoặc bằng không
✅ Luyện tập các tính chất - Đặc biệt là trung bình cộng và tính chất chỉ số
✅ Giải các bài toán đa dạng - Dãy số cộng thường kết hợp với hàm số và bất đẳng thức
✅ So sánh với dãy số hình học - Hiểu rõ sự khác biệt

💡 Mẹo thi: Dãy số cộng là một chủ đề xuất hiện thường xuyên trong các kỳ thi toán CSCA, chiếm khoảng 60% câu hỏi về dãy số. Hãy luyện tập 2-3 bài toán liên quan mỗi ngày để đảm bảo nắm vững.

等差数列děngchā shùliè