common difference | CSCA Math Glossary

Khái niệm cơ bản

Sự chênh lệch chung là thông số cơ bản của một dãy số cộng, đại diện cho sự chênh lệch không đổi giữa các hạng liên tiếp. Trong một dãy số cộng, bắt đầu từ hạng thứ hai, sự chênh lệch giữa mỗi hạng và hạng trước đó bằng với hằng số cố định này.

Định nghĩa toán học

Đối với một dãy số cộng $\{a_n\}$

, sự chênh lệch $d$

chung được định nghĩa như sau: $d = a_{n+1} - a_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

nơi $d$

là một hằng số cho tất cả các số trong dãy.

Tính chất

Độc nhất: Một dãy số học chỉ có một khoảng cách chung
Có thể là dương, âm hoặc bằng không: - $d > 0$

→ dãy tăng - $d < 0$

→ dãy giảm - $d = 0$

→ dãy không đổi

Công thức tính toán: $d = \frac{a_n - a_m}{n - m} \quad (n \neq m)$

Ứng dụng thực tế

Ứng dụng 1: Thay đổi nhiệt độ

Vấn đề: Nhiệt độ cao nhất hàng ngày trong một tuần là: 20°C, 22°C, 24°C, 26°C, 28°C, 30°C, 32°C. Tìm khoảng cách chung.

Giải pháp:

$d = 22 - 20 = 2°C$

Nhiệt độ tăng 2°C mỗi ngày, thể hiện sự tăng trưởng theo cấp số cộng.

Ứng dụng 2: Tăng trưởng lương

Vấn đề: Lương năm đầu tiên của Ming là $5000, increasing by$

500 mỗi năm. Tìm khoảng cách chung.

Giải pháp: Khoảng cách $d = 500$

chung mỗi năm

Điều này tạo thành một dãy số cấp số cộng $a_1 = 5000$

với , $d = 500$

Bài tập thực hành CSCA

> 💡 Lưu ý: Các bài tập thực hành sau đây được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA và định dạng bài thi tiêu chuẩn của Trung Quốc để giúp học sinh làm quen với các loại câu hỏi và phương pháp giải bài.

Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★☆☆☆☆)

Trong dãy số học $\{a_n\}$

, $a_1 = 3$

và $a_5 = 11$

. Tìm khoảng cách chung $d$

Các lựa chọn:

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Giải chi tiết:

Sử dụng công thức:

$d = \frac{a_5 - a_1}{5 - 1} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Kiểm tra:

$a_2 = 3 + 2 = 5$

$a_3 = 5 + 2 = 7$

- $a_4 = 7 + 2 = 9$

- $a_5 = 9 + 2 = 11$

✓

Câu trả lời: B

Ví dụ 2: Nâng cao (Độ khó ★★★☆☆)

Trong một dãy số học $\{a_n\}$

với $d \neq 0$

, cho $a_1 + a_3 + a_5 = 15$

và $a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 = 105$

, tìm $d$

Giải chi tiết:

Đặt $a_3 = a$

(số hạng giữa), thì:

$a_1 = a - 2d$

- $a_5 = a + 2d$

Điều kiện 1: $(a - 2d) + a + (a + 2d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

Điều kiện 2: $(5 - 2d) \cdot 5 \cdot (5 + 2d) = 105$ $5(25 - 4d^2) = 105$ $4d^2 = 4$ $d = \pm 1$

Câu trả lời:

## $d = \pm 1$

Lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1: Phần chênh lệch chung phải dương

Sửa lỗi: Phần chênh lệch chung có thể là dương, âm hoặc bằng không.

Ví dụ: Dãy số 10, 8, 6, 4, 2, ... có $d = -2$

(âm).

❌ Sai lầm 2: Bất kỳ hai số hạng nào cũng chênh lệch d

Sửa lỗi: Phần chênh lệch chung chỉ là sự chênh lệch giữa hai số hạng liền kề.

Đối với $a_n$

và $a_m$

nơi $n > m$

$a_n - a_m = (n - m) \cdot d$

❌ Sai lầm 3: Nhầm lẫn giữa số hạng đầu tiên và phần chênh lệch chung

Sửa lỗi: Số đầu tiên $a_1$

là giá trị ban đầu; khoảng cách chung $d$

là sự thay đổi giữa các số. Chúng là khái niệm khác nhau.

Mẹo học tập

✅ Hiểu bản chất: Khoảng cách chung mô tả sự thay đổi đều đặn
✅ Nhận biết dấu: Lưu ý d là dương hay âm
✅ Tính toán linh hoạt: Nắm vững nhiều phương pháp để tìm d
✅ Nhận diện trong thực tế: Nhận ra các mẫu số học trong cuộc sống hàng ngày

💡 Mẹo thi: Khoảng cách chung là yếu tố cơ bản của dãy số học. Hầu hết các bài toán về dãy số học đều liên quan đến nó. Đảm bảo bạn có thể tính toán nó nhanh chóng và chính xác.

公差gōngchā