公差gōngchā

Khái niệm cơ bản Khoảng cách chung là thông số cơ bản của một dãy số cộng, đại diện cho khoảng cách không đổi giữa các hạng liên tiếp. Trong một dãy số cộng, bắt đầu từ hạng thứ hai, khoảng cách giữa mỗi hạng và hạng liền trước nó bằng hằng số cố định này.

Định nghĩa toán học Đối với dãy số cộng $\{a_n\}$, khoảng cách chung $d$ được định nghĩa là: $d = a_{n+1} - a_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$ trong đó $d$ là một hằng số cho tất cả các số trong dãy.

Tính chất 1. Độc nhất: Dãy số học chỉ có một chênh lệch chung duy nhất 2. Có thể là dương, âm hoặc bằng không: - $d > 0$ → dãy tăng - $d < 0$ → dãy giảm - $d = 0$ → dãy hằng số 3. Công thức tính toán: $d = \frac{a_n - a_m}{n - m} \quad (n \neq m)$ ## Ứng dụng thực tế ### Ứng dụng 1: Thay đổi nhiệt độ Vấn đề: Nhiệt độ cao nhất hàng ngày trong một tuần là: 20°C, 22°C, 24°C, 26°C, 28°C, 30°C, 32°C. Tìm công thức chung. Giải pháp: $d = 22 - 20 = 2°C$ Nhiệt độ tăng 2°C mỗi ngày, thể hiện sự tăng trưởng theo cấp số cộng. ### Ứng dụng 2: Tăng trưởng lương Vấn đề: Lương năm đầu tiên của Ming là $5000, increasing by$500 mỗi năm. Công thức chung là gì?

Giải pháp: Phần chênh lệch chung là $d = 500$ mỗi năm. Điều này tạo thành một dãy số cộng với $a_1 = 5000$, $d = 500$.

Bài tập thực hành CSCA > 💡 Lưu ý: Các bài tập thực hành sau đây được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA và định dạng bài thi tiêu chuẩn của Trung Quốc để giúp học sinh làm quen với các loại câu hỏi và phương pháp giải quyết vấn đề. ### Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★☆☆☆☆)

Trong dãy số học $\{a_n\}$, $a_1 = 3$ và $a_5 = 11$. Tìm công thức chung $d$. Các lựa chọn: - A. 1 - B. 2 - C. 3 - D. 4 Giải chi tiết:

Sử dụng công thức: $d = \frac{a_5 - a_1}{5 - 1} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$ Kiểm tra: - $a_2 = 3 + 2 = 5$ - $a_3 = 5 + 2 = 7$ - $a_4 = 7 + 2 = 9$ - $a_5 = 9 + 2 = 11$ ✓ Câu trả lời: B ---

Ví dụ 2: Nâng cao (Độ khó ★★★☆☆) Trong một dãy số học $\{a_n\}$ với $d \neq 0$, cho $a_1 + a_3 + a_5 = 15$ và $a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 = 105$, tìm $d$. Giải chi tiết:

Giả sử $a_3 = a$ (số hạng giữa), thì: - $a_1 = a - 2d$ - $a_5 = a + 2d$ Điều kiện 1: $(a - 2d) + a + (a + 2d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

Điều kiện 2: $(5 - 2d) \cdot 5 \cdot (5 + 2d) = 105$ $5(25 - 4d^2) = 105$ $4d^2 = 4$ $d = \pm 1$ Câu trả lời: $d = \pm 1$ ## Lỗi thường gặp ### ❌ Lỗi 1: Phép chênh lệch chung phải là số dương

Sửa lỗi: Phần chênh lệch chung có thể là dương, âm hoặc bằng không. Ví dụ: Dãy số 10, 8, 6, 4, 2, ... có $d = -2$ (âm). ### ❌ Lỗi 2: Bất kỳ hai số hạng nào cũng chênh lệch nhau một lượng d

Sửa lỗi: Phần chênh lệch chung chỉ là sự chênh lệch giữa các số liên tiếp. Đối với $a_n$ và $a_m$, nơi $n > m$: $a_n - a_m = (n - m) \cdot d$ ### ❌ Lỗi 3: Nhầm lẫn giữa số đầu tiên và phần chênh lệch chung

Sửa lỗi: Thuật ngữ đầu tiên $a_1$ là giá trị ban đầu; khoảng cách chung $d$ là sự thay đổi giữa các thuật ngữ. Chúng là khái niệm khác nhau. ## Mẹo học tập 1. ✅ Hiểu bản chất: Khoảng cách chung mô tả sự thay đổi đều đặn 2. ✅ Nhận biết dấu hiệu: Lưu ý xem d là dương hay âm 3. ✅ Tính toán linh hoạt: Nắm vững nhiều phương pháp để tìm d 4. ✅ Nhận diện trong thực tế: Nhận ra các mẫu số học trong cuộc sống hàng ngày --- 💡 Mẹo thi: Khoảng cách chung là yếu tố cơ bản của dãy số học. Hầu hết các bài toán về dãy số học đều liên quan đến nó. Đảm bảo bạn có thể tính toán nó nhanh chóng và chính xác