等比数列děngbǐ shùliè

Khái niệm cốt lõi

Dãy số hình học là dãy số mà, bắt đầu từ hạng thứ hai, tỷ số giữa mỗi hạng và hạng liền trước nó đều bằng một hằng số không đổi. Hằng số này được gọi là tỷ số chung, thường được ký hiệu là $q$.

Định nghĩa toán học

Đối với dãy số $\{a_n\}$, nếu tồn tại một hằng số $q \neq 0$ sao cho:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, a_n \neq 0)$

khi đó, $\{a_n\}$ được gọi là dãy số hình học có tỷ số chung là $q$.

Công thức tổng quát

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

trong đó:

• $a_1$ là học kỳ đầu tiên
• $q$ là tỷ số chung
• $n$ là mã số

Công thức tổng

Khi $q \neq 1$: $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q}$

Khi $q = 1$: $S_n = n \cdot a_1$

Dãy số hình học và dãy số cộng

Tính năng	Hình học	Toán học
Định nghĩa	Tỷ lệ giữa các hạng liên tiếp là hằng số	Sự chênh lệch giữa các hạng tử liên tiếp là hằng số
Ký hiệu	$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$	$a_{n+1} - a_n = d$
Thuật ngữ chung	$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$	$a_n = a_1 + (n-1)d$
Trung bình	$b^2 = ac$ (trung bình hình học)	$b = \frac{a+c}{2}$ (trung bình cộng)

Ứng dụng trong thực tế

Ứng dụng 1: Sự phân chia tế bào

Bài toán: Mỗi giờ, một tế bào phân chia thành 2 tế bào. Sau 8 giờ sẽ có bao nhiêu tế bào?

Giải pháp:

• Học kỳ đầu tiên $a_1 = 1$
• Tỷ lệ thông dụng $q = 2$
• Sau 8 giờ: Tế bào $a_9 = 1 \times 2^{8} = 256$

Bài tập 2: Lãi kép

Bài toán: Gửi $10.000 với lãi suất hàng năm 5% (lãi kép). Tổng số tiền sau 10 năm là bao nhiêu?

Giải pháp: $a_{11} = 10000 \times 1.05^{10} \approx \$16,288.95$

Ứng dụng 3: Phân rã phóng xạ

Bài toán: Chất này bị phân hủy 20% mỗi năm. Khối lượng ban đầu là 100g, khối lượng còn lại sau 5 năm là bao nhiêu?

Giải pháp: $a_6 = 100 \times 0.8^5 = 32.768 \text{ g}$

Các bài tập thực hành CSCA

💡 Lưu ý: Các bài tập thực hành sau đây được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA và các dạng đề thi chuẩn hóa của Trung Quốc, nhằm giúp học sinh làm quen với các dạng câu hỏi và phương pháp giải bài.

Ví dụ 1: Cơ bản (Mức độ khó ★★☆☆☆)

Trong dãy số hình học $\{a_n\}$, $a_2 = 6$ và $a_5 = 48$, hãy tìm tỷ số chung của $q$.

Tùy chọn:

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 8

Giải pháp chi tiết:

$a_5 = a_2 \cdot q^{3}$ $48 = 6 \cdot q^3$ $q^3 = 8$ $q = 2$

Câu trả lời: A

---

Ví dụ 2: Trình độ trung cấp (Mức độ khó ★★★☆☆)

Trong dãy số hình học $\{a_n\}$, $a_1 + a_2 = 3$ và $a_2 + a_3 = 6$. Tìm $a_5$.

Giải pháp chi tiết:

$a_1(1 + q) = 3$ ... ① $a_1 q(1 + q) = 6$ ... ②

Chia ②÷①: $q = 2$

Thay vào ①: $a_1 = 1$

Do đó: $a_5 = 1 \times 2^4 = 16$

Câu trả lời: 16

Những sai lầm thường gặp

❌ Sai lầm 1: Dãy số hình học luôn tăng dần

Sửa lỗi: Sự tăng trưởng phụ thuộc vào cả $a_1$ và $q$:

• $a_1 > 0, q > 1$ → tăng dần
• $a_1 > 0, 0 < q < 1$ → giảm dần
• $q < 0$ → dấu luân phiên

❌ Lỗi 2: Tỷ số chung có thể bằng không

Sửa lỗi: $q \neq 0$, nếu không thì tất cả các hạng từ hạng thứ hai trở đi sẽ bằng không.

❌ Sai lầm 3: Nhầm lẫn giữa trung bình hình học và trung bình số học

Sửa lỗi:

• Trung bình hình học: $b^2 = ac$
• Trung bình cộng: $b = \frac{a+c}{2}$

Đừng nhầm lẫn chúng với nhau!

❌ Lỗi 4: Quên phân loại khi tính tổng

Chú ý: Luôn tính riêng từng số $q = 1$ và $q \neq 1$ khi tính tổng.

Mẹo học tập

1. ✅ So sánh với dãy số cộng: Hiểu rõ sự khác biệt giữa “tỷ số” và “sự chênh lệch”
2. ✅ Công thức cơ bản: Học thuộc lòng công thức tổng quát và công thức tính tổng
3. ✅ Phân tích trường hợp: Xem xét các trường hợp khác nhau đối với $q$
4. ✅ Các ứng dụng thực tế: Sự phân chia tế bào, lãi kép, quá trình phân hủy là những mô hình điển hình

---

💡 Mẹo làm bài thi: Dãy số hình học và dãy số cộng đều có tầm quan trọng như nhau trong các kỳ thi CSCA, mỗi loại chiếm khoảng 50% số câu hỏi về dãy số. Hãy ôn tập cả hai loại một cách cân bằng!