geometric sequence | CSCA Math Glossary

Khái niệm cơ bản

Một dãy số hình học là một dãy số trong đó, bắt đầu từ hạng tử thứ hai, tỷ số của mỗi hạng tử với hạng tử liền trước nó bằng một hằng số không đổi. Hằng số này được gọi là tỷ số chung, thường được ký hiệu bằng $q$

Định nghĩa toán học

Đối với một dãy số $\{a_n\}$

, nếu tồn tại một hằng số $q \neq 0$

sao cho:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, a_n \neq 0)$

thì $\{a_n\}$

được gọi là một dãy số hình học với tỷ số chung $q$

Công thức số

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

hạng tổng quát

với: - $a_1$

là số hạng đầu tiên - $q$

là tỷ số chung - $n$

là số thứ tự của số hạng

Công thức tổng

**Khi $q \neq 1$

**:

$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q}$

**Khi $q = 1$

**:

$S_n = n \cdot a_1$

Dãy số hình học so với dãy số cộng

Tính chất	Hình học	Cộng
Định nghĩa	Tỷ số của hai số liên tiếp là hằng số	Sự chênh lệch của hai số liên tiếp là hằng số
Ký hiệu	$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$

| $a_{n+1} - a_n = d$

| | Số chung | $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

| $a_n = a_1 + (n-1)d$

| | Trung bình | $b^2 = ac$

(trung bình hình học) | $b = \frac{a+c}{2}$

(trung bình số học) |

Ứng dụng trong thực tế

Ứng dụng 1: Phân chia tế bào

Vấn đề: Một tế bào phân chia thành 2 tế bào sau mỗi giờ. Số tế bào sau 8 giờ là bao nhiêu?

Giải pháp:

Số hạng đầu tiên $a_1 = 1$
Tỷ lệ chung $q = 2$
Sau 8 giờ: $a_9 = 1 \times 2^{8} = 256$

tế bào

Ứng dụng 2: Lãi suất kép

Vấn đề: $10,000 được gửi với lãi suất 5% hàng năm (lãi kép). Tổng sau 10 năm là bao nhiêu?

Giải pháp: $a_{11} = 10000 \times 1.05^{10} \approx \$16,288.95$

Ứng dụng 3: Phân rã phóng xạ

Vấn đề: Chất phân rã 20% hàng năm. Khối lượng ban đầu 100g, còn lại sau 5 năm là bao nhiêu?

Giải pháp: $a_6 = 100 \times 0.8^5 = 32.768 \text{ g}$

Bài tập thực hành CSCA

> 💡 Lưu ý: Các bài tập thực hành sau đây được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA và định dạng bài thi tiêu chuẩn của Trung Quốc để giúp học sinh làm quen với các loại câu hỏi và phương pháp giải quyết vấn đề.

Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Trong dãy số hình $\{a_n\}$

học , $a_2 = 6$

và $a_5 = 48$

. Tìm tỷ số chung $q$

Các lựa chọn:

A. 2
B. 3
C. 4
D. 8

Giải chi tiết:

$a_5 = a_2 \cdot q^{3}$ $48 = 6 \cdot q^3$ $q^3 = 8$ $q = 2$

Đáp án: A

Ví dụ 2: Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

Trong cấp số nhân $\{a_n\}$

, $a_1 + a_2 = 3$

và $a_2 + a_3 = 6$

. Tìm $a_5$

Giải chi tiết:

$a_1(1 + q) = 3$

... ① $a_1 q(1 + q) = 6$

... ②

Chia ②÷①: $q = 2$

Thay vào ①: $a_1 = 1$

Vậy:

$a_5 = 1 \times 2^4 = 16$

Câu trả lời: 16

Lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1: Dãy số hình học luôn tăng

Sửa lỗi: Sự tăng trưởng phụ thuộc vào cả $a_1$

và $q$

: - $a_1 > 0, q > 1$

→ tăng - $a_1 > 0, 0 < q < 1$

→ giảm - $q < 0$

→ dấu thay đổi

❌ Lỗi 2: Tỷ số chung có thể bằng không

Sửa lỗi: $q \neq 0$

, nếu không tất cả các hạng từ hạng thứ hai trở đi sẽ bằng không.

❌ Lỗi 3: Nhầm lẫn giữa trung bình hình học và trung bình cộng

Sửa lỗi:

Trung bình hình học: $b^2 = ac$
Trung bình cộng: $b = \frac{a+c}{2}$

Đừng nhầm lẫn chúng!

❌ Lỗi 4: Quên phân loại khi cộng

Sửa lỗi: Luôn xem xét $q = 1$

và $q \neq 1$

riêng biệt khi tính tổng.

Mẹo học tập

✅ So sánh với dãy số học: Hiểu "tỷ lệ" so với "sự chênh lệch"
✅ Nắm vững công thức: Học thuộc lòng công thức tổng quát và công thức tổng
✅ Phân tích trường hợp: Xem xét các trường hợp khác nhau cho $q$
✅ Ứng dụng thực tế: Phân chia tế bào, lãi suất kép, sự phân hủy là các mô hình điển hình

💡 Mẹo thi: Dãy số hình học và dãy số cộng đều quan trọng như nhau trong các kỳ thi CSCA, mỗi loại chiếm khoảng 50% các bài toán về dãy số. Hãy học chúng một cách so sánh!

等比数列děngbǐ shùliè