数学期望shùxué qīwàng

แนวคิดหลัก

ค่าคาดหวัง (หรือ ค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์) ของตัวแปรสุ่ม คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยน้ำหนักคือความน่าจะเป็น

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ ที่มีค่า $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ด้วยความน่าจะเป็น $p_1, p_2, \ldots, p_n$:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$

สัญลักษณ์

• $E(X)$ - ค่าคาดหวังของ $X$
• $\mu$ (มิว) - มักใช้แทนค่าคาดหวัง
• $\overline{X}$ - ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง (การประมาณค่า $E(X)$)

การตีความ

ค่าคาดหวังแสดงถึง:

• ค่าเฉลี่ยระยะยาว ของการทดลองอิสระหลายครั้ง
• จุดศูนย์ถ่วง ของการแจกแจงความน่าจะเป็น
• มูลค่ายุติธรรม ในบริบทของการพนัน/การเงิน

สำคัญ: ค่าคาดหวังอาจไม่ใช่ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จริง

สมบัติของค่าคาดหวัง

1. ความเป็นเชิงเส้น

$E(aX + b) = aE(X) + b$

โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่

2. ผลรวมของตัวแปรสุ่ม

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

สมบัตินี้ใช้ได้แม้ว่า $X$ และ $Y$ จะไม่เป็นอิสระจากกัน

3. ผลคูณของตัวแปรอิสระ

ถ้า $X$ และ $Y$ เป็นอิสระจากกัน: $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

4. ค่าคาดหวังของค่าคงที่

$E(c) = c$

การแจกแจงที่พบบ่อย

การแจกแจง	ค่าคาดหวัง
แบร์นูลลี($p$)	$p$
ทวินาม($n, p$)	$np$
สม่ำเสมอ($\{1,2,...,n\}$)	$\dfrac{n+1}{2}$
เรขาคณิต($p$)	$\dfrac{1}{p}$

แบบฝึกหัด CSCA

💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA

ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

ตัวแปรสุ่ม $X$ มีการแจกแจงดังนี้:

$X$	1	2	3
$P$	0.2	0.5	0.3

จงหา $E(X)$

วิธีแก้: $E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3$ $= 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$

คำตอบ: $E(X) = 2.1$

---

ตัวอย่าง 2: ระดับกลาง (ระดับความยาก ★★★☆☆)

ถ้า $E(X) = 3$ จงหา $E(2X + 5)$

วิธีแก้:

ใช้สมบัติความเป็นเชิงเส้น: $E(2X + 5) = 2E(X) + 5 = 2(3) + 5 = 11$

คำตอบ: $11$

---

ตัวอย่าง 3: ระดับกลาง (ระดับความยาก ★★★☆☆)

โยนเหรียญที่ยุติธรรม 100 ครั้ง ให้ $X$ เป็นจำนวนครั้งที่ออกหัว จงหา $E(X)$

วิธีแก้:

$X$ มีการแจกแจงทวินามด้วย $n = 100$, $p = 0.5$

$E(X) = np = 100 \times 0.5 = 50$

คำตอบ: $E(X) = 50$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: สับสน E(X) กับค่าที่มีโอกาสมากที่สุด

ผิด: $E(X)$ คือค่าที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุด ✗

ถูก: $E(X)$ คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก; ฐานนิยมคือค่าที่เกิดบ่อยที่สุด ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: ลืมว่าผลรวมความน่าจะเป็นต้องเท่ากับ 1

ก่อนคำนวณ ให้ตรวจสอบ: $\sum p_i = 1$

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: ใช้สมบัติความเป็นเชิงเส้นผิด

ผิด: $E(X^2) = (E(X))^2$ ✗

ถูก: โดยทั่วไป $E(X^2) \neq (E(X))^2$ ผลต่างคือความแปรปรวน! ✓

ความสัมพันธ์กับความแปรปรวน

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

หรือเทียบเท่า: $E(X^2) = \text{Var}(X) + (E(X))^2$

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ จำสูตร: $E(X) = \sum x_i p_i$
2. ✅ เชี่ยวชาญความเป็นเชิงเส้น: $E(aX+b) = aE(X)+b$
3. ✅ รู้จักการแจกแจงที่พบบ่อย: ค่าคาดหวังของการแจกแจงทวินามคือ $np$
4. ✅ อย่าสับสนกับความแปรปรวน: $E(X^2) \neq (E(X))^2$

---

💡 เคล็ดลับการสอบ: เมื่อได้รับตารางการแจกแจงความน่าจะเป็น ให้ตรวจสอบก่อนว่าผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 แล้วจึงนำนิยามไปใช้โดยตรง!