数学期望shùxué qīwàng

แนวคิดหลัก

ค่าคาดหวัง (หรือ ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์) ของตัวแปรสุ่ม คือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้ โดยที่น้ำหนักคือความน่าจะเป็น

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ ที่มีค่าเป็น $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ด้วยความน่าจะเป็น $p_1, p_2, \ldots, p_n$:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$

สัญลักษณ์

• $E(X)$ - ค่าคาดหวังของ $X$
• $\mu$ (mu) - มักใช้เพื่อแสดงค่าคาดหวัง
• $\overline{X}$ - ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง (ค่าประมาณของ $E(X)$)

การแปล

ค่าคาดหวังหมายถึง:

• ค่าเฉลี่ยในระยะยาว ของการทดลองหลายครั้งที่เป็นอิสระ
• จุดศูนย์กลางมวล ของการแจกแจงความน่าจะเป็น
• มูลค่าที่ยุติธรรม ในบริบทของการพนัน/การเงิน

สำคัญ: ค่าที่คาดการณ์อาจไม่ใช่ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จริง

คุณสมบัติของค่าคาดหวัง

1. ความเป็นเชิงเส้น

$E(aX + b) = aE(X) + b$

โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่

2. ผลรวมของตัวแปรสุ่ม

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

สิ่งนี้ยังคงเป็นจริงแม้ $X$ และ $Y$ จะไม่เป็นอิสระต่อกันก็ตาม

3. ผลคูณของตัวแปรอิสระ

หาก $X$ และ $Y$ เป็นตัวแปรอิสระ: $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

4. ค่าคาดหวังของค่าคงที่

$E(c) = c$

การแจกแจงความน่าจะเป็นทั่วไป

การจัดจำหน่าย	ค่าคาดหวัง
Bernoulli ($p$)	$p$
Binomial($n, p$)	$np$
ชุดเครื่องแบบ ($\{1,2,...,n\}$)	$\dfrac{n+1}{2}$
Geometric ($p$)	$\dfrac{1}{p}$

ข้อฝึกฝน CSCA

💡 หมายเหตุ: ข้อฝึกฝนต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามเนื้อหาของหลักสูตรสอบ CSCA

ตัวอย่าง 1: ระดับพื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

ตัวแปรสุ่ม $X$ มีการแจกแจงดังต่อไปนี้:

$X$	1	2	3
$P$	0.2	0.5	0.3

ค้นหา $E(X)$.

วิธีแก้ปัญหา: $E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3$ $= 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$

คำตอบ: $E(X) = 2.1$

---

ตัวอย่างที่ 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

หากพบ $E(X) = 3$ ให้ค้นหา $E(2X + 5)$

วิธีแก้ปัญหา:

การใช้ความเชิงเส้น: $E(2X + 5) = 2E(X) + 5 = 2(3) + 5 = 11$

คำตอบ: $11$

---

ตัวอย่างที่ 3: ระดับกลาง (ระดับความยาก ★★★☆☆)

โยนเหรียญที่ยุติธรรม 100 ครั้ง ให้ $X$ เป็นจำนวนครั้งที่ออกหน้า หาค่า $E(X)$

วิธีแก้ปัญหา:

$X$ มีลักษณะการแจกแจงแบบทวินามร่วมกับ $n = 100$ และ $p = 0.5$

$E(X) = np = 100 \times 0.5 = 50$

คำตอบ: $E(X) = 50$

---

ตัวอย่างที่ 4: ระดับสูง (ระดับความยาก ★★★★☆)

มีกล่องหนึ่งที่มีลูกบอลสีแดง 3 ลูก และลูกบอลสีขาว 2 ลูก ทำการจับลูกบอล 2 ลูกโดยไม่คืนลูกบอลที่จับแล้ว ให้ $X$ เป็นจำนวนลูกบอลสีแดงที่จับได้ จงหาค่าของ $E(X)$

วิธีแก้ปัญหา:

หาการแจกแจงของ $X$:

$P(X = 0) = \dfrac{C_2^2}{C_5^2} = \dfrac{1}{10}$ (ทั้งสองชิ้นสีขาว)

$P(X = 1) = \dfrac{C_3^1 \cdot C_2^1}{C_5^2} = \dfrac{6}{10}$ (หนึ่งสีแดง หนึ่งสีขาว)

$P(X = 2) = \dfrac{C_3^2}{C_5^2} = \dfrac{3}{10}$ (ทั้งสองสีแดง)

$E(X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10}$ $= 0 + 0.6 + 0.6 = 1.2$

คำตอบ: $E(X) = 1.2$

---

ตัวอย่าง 5: ระดับสูง (ความยาก ★★★★★)

หากมี $E(X) = 2$ และ $E(X^2) = 8$ ก็ให้หา $E((X-1)^2)$

วิธีแก้ปัญหา:

ขยาย: $E((X-1)^2) = E(X^2 - 2X + 1)$ $= E(X^2) - 2E(X) + 1$ $= 8 - 2(2) + 1 = 8 - 4 + 1 = 5$

คำตอบ: $5$

การประยุกต์ใช้ในชีวิตจริง

1. เกมที่ยุติธรรม

เกมจะถือว่า "ยุติธรรม" หาก $E(\text{profit}) = 0$.

ตัวอย่าง: คุณจ่าย ¥2 เพื่อโยนเหรียญ หากออกหน้า: ได้ ¥4 หากออกหลัง: ไม่ได้อะไรเลย $E(\text{profit}) = 0.5 \times (4-2) + 0.5 \times (0-2) = 1 - 1 = 0$ นี่เป็นเกมที่ยุติธรรม

2. การประกันภัย

บริษัทประกันภัยใช้ค่าคาดหวังเพื่อกำหนดค่าเบี้ยประกัน

3. การวิเคราะห์การลงทุน

อัตราผลตอบแทนที่คาดการณ์ได้ช่วยในการเปรียบเทียบตัวเลือกการลงทุน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: การสับสนระหว่าง E(X) กับค่าที่มีความเป็นไปได้สูงที่สุด

ผิด: $E(X)$ เป็นค่าที่ปรากฏบ่อยที่สุด ✗

ถูกต้อง: $E(X)$ คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก ส่วนค่าโหมดคือค่าที่ปรากฏบ่อยที่สุด ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: ลืมว่าผลรวมของความน่าจะเป็นต้องเท่ากับ 1

ก่อนที่จะคำนวณ ให้ตรวจสอบ: $\sum p_i = 1$

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: การใช้ความเชิงเส้นอย่างไม่ถูกต้อง

ผิด: $E(X^2) = (E(X))^2$ ✗

ถูกต้อง: โดยทั่วไปคือ $E(X^2) \neq (E(X))^2$ ความแตกต่างอยู่ที่ค่าความแปรปรวน! ✓

ความสัมพันธ์กับความแปรปรวน

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง: $E(X^2) = \text{Var}(X) + (E(X))^2$

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ จำสูตรนี้ไว้: $E(X) = \sum x_i p_i$
2. ✅ ความเชิงเส้น: $E(aX+b) = aE(X)+b$
3. ✅ รู้จักการแจกแจงความน่าจะเป็นที่พบบ่อย: ค่าคาดหวังของการแจกแจงแบบทวินามคือ $np$
4. ✅ อย่าสับสนกับค่าความแปรปรวน: $E(X^2) \neq (E(X))^2$

---

💡 เคล็ดลับในการสอบ: เมื่อได้รับตารางการแจกแจงความน่าจะเป็น ให้ตรวจสอบก่อนว่าผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 แล้วจึงนำนิยามมาใช้โดยตรง!