概率gàilǜ

แนวคิดหลัก ความน่าจะเป็น คือการวัดเชิงตัวเลขเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์สุ่มจะเกิดขึ้น โดยอธิบายว่าผลลัพธ์หนึ่งๆ มีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใดในการทดลองแบบสุ่ม

นิยามทางคณิตศาสตร์ สำหรับเหตุการณ์สุ่ม $A$ ความน่าจะเป็นของมัน $P(A)$ คือจำนวนจริงระหว่าง 0 ถึง 1: $0 \leq P(A) \leq 1$ โดยที่: - $P(A) = 0$: เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ - $P(A) = 1$: เหตุการณ์ที่แน่นอน

• $0 < P(A) < 1$: เหตุการณ์สุ่ม ### ความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก เมื่อการทดลองสุ่มเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: 1. มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จำนวนจำกัด 2. ทุกผลลัพธ์มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากันหมด ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$ คือ: $P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of outcomes}} = \frac{m}{n}$ ## สมบัติพื้นฐานของความน่าจะเป็น

สมบัติที่ 1: เหตุการณ์ที่เสริมกัน หากเหตุการณ์ $A$ และ $\overline{A}$ เป็นเหตุการณ์ที่เสริมกัน: $P(A) + P(\overline{A}) = 1$ $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ ### สมบัติที่ 2: กฎการบวก

สำหรับเหตุการณ์สองเหตุการณ์ใด ๆ $A$ และ $B$: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ กรณีพิเศษ: เมื่อ $A$ และ $B$ เป็นเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ($A \cap B = \emptyset$):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ### สมบัติที่ 3: ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$ เมื่อเหตุการณ์ $B$ เกิดขึ้นแล้ว: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)$ ### สมบัติที่ 4: เหตุการณ์อิสระ

หากเหตุการณ์ $A$ และ $B$ เป็นอิสระจากกัน: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ## วิธีการคำนวณทั่วไป ### วิธีที่ 1: การนับ ใช้: เมื่อจำนวนผลลัพธ์มีน้อย ตัวอย่าง: ทอยลูกเต๋าสองลูก, หาความน่าจะเป็นที่ผลรวมเท่ากับ 7?

*การวิเคราะห์: - ผลลัพธ์ทั้งหมด: สูตรทางคณิตศาสตร์ 38 - ผลรวม = 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 กรณี สูตรทางคณิตศาสตร์ 8

วิธีที่ 2: คณิตศาสตร์การรวม ใช้: เมื่อจำนวนผลลัพธ์มีมาก ตัวอย่าง: จับไพ่ 5 ใบจากสำรับไพ่ 52 ใบ ความน่าจะเป็นที่จะได้ไพ่เอซ 3 ใบพอดี? การวิเคราะห์: - จำนวนวิธีทั้งหมด: $C_{52}^5$

• วิธีที่จะได้ไพ่ 3 เอซ: $C_4^3 \times C_{48}^2$ $P = \frac{C_4^3 \times C_{48}^2}{C_{52}^5} = \frac{4 \times 1128}{2598960} \approx 0.00174$ ## การประยุกต์ใช้ในโลกจริง ### การประยุกต์ใช้ 1: ปัญหาลอตเตอรี่ ปัญหา: กล่องมีลูกบอลสีแดง 5 ลูก และลูกบอลสีขาว 3 ลูก จับลูกบอล 2 ลูก หาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดง 1 ลูก และลูกบอลสีขาว 1 ลูก

*การวิเคราะห์: - จำนวนวิธีทั้งหมด: $C_8^2 = 28$ - สีแดง 1 สี, สีขาว 1 สี: $C_5^1 \times C_3^1 = 15$ $P = \frac{15}{28}$ ### การประยุกต์ใช้ที่ 2: การควบคุมคุณภาพ ปัญหา: ผลิตภัณฑ์มีอัตราการผ่าน 95% หาความน่าจะเป็นของข้อบกพร่องเมื่อสุ่มเลือก 1 ชิ้น

*การวิเคราะห์: ให้ $A$ = เหตุการณ์ผ่าน, แล้ว $\overline{A}$ = เหตุการณ์บกพร่อง $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.95 = 0.05$ ### การประยุกต์ใช้งานที่ 3: การพยากรณ์อากาศ ปัญหา: ความน่าจะเป็นของฝนพรุ่งนี้คือ 70%หากฝนตก ความน่าจะเป็นของการจราจรติดขัดคือ 80%; หากไม่มีฝน ความน่าจะเป็นคือ 30% หาความน่าจะเป็นของการจราจรติดขัด การวิเคราะห์: ให้ $R$ = ฝนตก, $T$ = การจราจรติดขัด $P(T) = P(R) \cdot P(T|R) + P(\overline{R}) \cdot P(T|\overline{R})$ $= 0.7 \times 0.8 + 0.3 \times 0.3 = 0.56 + 0.09 = 0.65$

*คำตอบ: ความน่าจะเป็นของการเกิดรถติดคือ 65% ### แบบฝึกหัด CSCA > 💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA และรูปแบบการทดสอบมาตรฐานของจีน เพื่อช่วยให้นักเรียนคุ้นเคยกับรูปแบบคำถามและวิธีการแก้ปัญหา ### ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

สุ่มเลือกจำนวนเต็มหนึ่งจำนวนจาก 1 ถึง 10 ความน่าจะเป็นของการเลือกจำนวนคู่คือเท่าไร? ตัวเลือก: - A. $\frac{1}{10}$ - B. $\frac{1}{5}$ - C. $\frac{2}{5}$ - D. $\frac{1}{2}$

*วิธีแก้: ผลลัพธ์ทั้งหมด: 10 จำนวนคู่: 2, 4, 6, 8, 10 → 5 ตัวเลข $P = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ คำตอบ: D --- ### ตัวอย่าง 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

ถุงมีลูกบอลสีแดง 5 ลูก และสีขาว 3 ลูก จับลูกบอล 2 ลูกแบบสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก วิธีแก้: วิธีที่ 1: วิธีตรง อย่างน้อย 1 สีแดง = สีแดง 1 ลูกพอดี + สีแดง 2 ลูกพอดี $P = \frac{C_5^1 \times C_3^1 + C_5^2}{C_8^2} = \frac{15 + 10}{28} = \frac{25}{28}$ วิธีที่ 2: วิธีเสริม (ง่ายกว่า!) ส่วนประกอบของ "อย่างน้อย 1 สีแดง" = "0 สีแดง" (เช่น 2 สีขาว) $P = 1 - \frac{C_3^2}{C_8^2} = 1 - \frac{3}{28} = \frac{25}{28}$ คำตอบ: $\frac{25}{28}$ --- ### ตัวอย่าง 3: ขั้นสูง (ระดับความยาก ★★★★☆) คนสองคนแก้ปัญหาเดียวกันโดยอิสระบุคคล A แก้ปัญหาได้ด้วยความน่าจะเป็น 0.7 บุคคล B แก้ปัญหาได้ด้วยความน่าจะเป็น 0.8 หา: 1. ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองคนแก้ได้ 2. ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งคนแก้ได้ 3. ความน่าจะเป็นที่พอดีหนึ่งคนแก้ได้ วิธีแก้: ให้ $A$ = "A แก้ได้", $B$ = "B แก้ได้"

ให้: $P(A) = 0.7$, $P(B) = 0.8$ (1) ทั้งสองแก้ได้: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.7 \times 0.8 = 0.56$ (2) มีเพียงหนึ่งเท่านั้นที่แก้ได้: $P = P(A) \cdot P(\overline{B}) + P(\overline{A}) \cdot P(B)$ $= 0.7 \times 0.2 + 0.3 \times 0.8 = 0.14 + 0.24 = 0.38$

(3) อย่างน้อยหนึ่งข้อต้องแก้: ใช้ตัวประกอบ $P = 1 - P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 1 - 0.3 \times 0.2 = 0.94$ คำตอบ: (1) 0.56 (2) 0.38 (3) 0.94 ## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: ความน่าจะเป็น > 1

*การแก้ไข: ช่วงความน่าจะเป็นคือ $[0, 1]$ หากผลลัพธ์เกินกว่านี้ การคำนวณจะผิด ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: การใช้วิธีโดยตรงสำหรับโจทย์ที่มีคำว่า "อย่างน้อย" ผิด: จงระบุทุกกรณี (ง่ายต่อการพลาดบางกรณี) ถูก:ใช้วิธีการเสริม: "อย่างน้อยหนึ่ง" = 1 - "ไม่มี" ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: สับสนระหว่างความเป็นอิสระกับความเป็นเอกสิทธิ์ เอกสิทธิ์: ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ($A \cap B = \emptyset$), $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ อิสระ: อย่างหนึ่งไม่ส่งผลต่ออีกอย่างหนึ่ง($P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$) แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง! ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 4: ลืมเงื่อนไขในความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข การแก้ไข: $P(A|B) \neq P(A)$ (เว้นแต่ $A$ และ $B$ จะอิสระจากกัน) ## เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ เข้าใจแนวคิดพื้นฐาน: พื้นที่ตัวอย่าง, เหตุการณ์พื้นฐาน, เหตุการณ์สุ่ม 2. ✅ จำสูตร: การเสริม, กฎการบวก, ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข 3. ✅ เลือกวิธีที่เหมาะสม: การนับแบบแจกแจงสำหรับเรื่องง่าย, การจัดเรียงและการจัดกลุ่มสำหรับเรื่องซับซ้อน
2. ✅ ใช้ส่วนเสริมอย่างชาญฉลาด: ปัญหา "อย่างน้อย" จะง่ายขึ้นเมื่อใช้ส่วนเสริม 5. ✅ แยกแยะระหว่างความเป็นอิสระกับความเฉพาะเจาะจง: คำจำกัดความและสูตรที่แตกต่างกัน --- 💡 เคล็ดลับการสอบ: ความน่าจะเป็นเป็นเนื้อหาหลักของสถิติ CSCA คิดเป็นประมาณ 40% ของปัญหาสถิติ วิธีการส่วนเสริมและเหตุการณ์อิสระมักถูกทดสอบบ่อย!