条件概率tiáojiàn gàilǜ

แนวคิดหลัก ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ $A$ จะเกิดขึ้นเมื่อเหตุการณ์ $B$ เกิดขึ้นแล้ว โดยใช้สัญลักษณ์ $P(A|B)$ ### นิยาม ให้ $A, B$ เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่มี $P(B) > 0$ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของ $A$ เมื่อให้ $B$ คือ: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ความเข้าใจ: - ตัวเศษ $P(A \cap B)$: ความน่าจะเป็นของทั้ง $A$ และ $B$

• ตัวส่วน $P(B)$: ความน่าจะเป็นของ $B$ - ความหมาย: ความน่าจะเป็นของ $A$ ใน "พื้นที่ตัวอย่างใหม่" ที่ $B$ เกิดขึ้น ## คุณสมบัติ ### 1. ไม่เป็นลบ $0 \leq P(A|B) \leq 1$

2. เหตุการณ์บางอย่าง $P(\Omega|B) = 1$ ### 3. กฎการบวก หาก $A_1, A_2$ เป็นเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้: $P(A_1 \cup A_2|B) = P(A_1|B) + P(A_2|B)$ ## กฎการคูณ จากคำจำกัดความ เราได้ กฎการคูณ: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$ ## ความเป็นอิสระ ### เหตุการณ์อิสระ หากเหตุการณ์ $A$ และ $B$ เป็นอิสระ: $P(A|B) = P(A)$ $P(B|A) = P(B)$ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

*ความหมาย: การเกิดขึ้นของ $B$ ไม่มีผลต่อความน่าจะเป็นของ $A$. ### การไม่ขึ้นต่อกัน vs การอิสระ - การไม่ขึ้นต่อกัน: $A \cap B = \emptyset$ ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้

• อิสระ: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, การเกิดเหตุการณ์เป็นอิสระ หมายเหตุ: เหตุการณ์ที่ขัดแย้งกันโดยสิ้นเชิงโดยทั่วไป ไม่ถือว่าเป็นอิสระ (เว้นแต่เหตุการณ์หนึ่งมีความน่าจะเป็นเป็น 0) ## ตัวอย่างข้อสอบ CSCA ### [ตัวอย่างที่ 1] พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

มีถุงหนึ่งใบมีลูกบอลสีแดง 3 ลูก และลูกบอลสีขาว 2 ลูก จับลูกบอล 2 ลูกโดยไม่ใส่กลับคืน: 1. ความน่าจะเป็นที่ลูกแรกเป็นสีแดง: $P(A)$ 2. เมื่อกำหนดว่าลูกแรกเป็นสีแดง ความน่าจะเป็นที่ลูกที่สองเป็นสีแดง: $P(B|A)$ วิธีทำ: 1. $P(A) = \frac{3}{5}$

2. หลังจากจับสลากสีแดงแล้ว เหลือสีแดง 2 สี และสีขาว 2 สี: $P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ คำตอบ: $P(A) = \frac{3}{5}$, $P(B|A) = \frac{1}{2}$ --- ### [ตัวอย่างที่ 2] ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

โยนเหรียญที่ยุติธรรมสองเหรียญ ให้: - $A$: อย่างน้อยหนึ่งหัว - $B$: ทั้งสองหัว ค้นหา $P(B|A)$. วิธีแก้: พื้นที่ตัวอย่าง: $\Omega = \{HH, HT, TH, TT\}$ เหตุการณ์ $A$:อย่างน้อยหนึ่งหัว, $A = \{HH, HT, TH\}$, $P(A) = \frac{3}{4}$ เหตุการณ์ $B$: ทั้งสองหัว, $B = \{HH\}$, $P(B) = \frac{1}{4}$ จุดตัด: $A \cap B = \{HH\}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$ คำตอบ: $\frac{1}{3}$ ## ทฤษฎีบทเบย์ $P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A|B_j)}$ การประยุกต์ใช้: หาความน่าจะเป็นของ "สาเหตุ" เมื่อมี "ผลลัพธ์" ## ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย ### ❌ ความเข้าใจผิดที่ 1: ใช้สูตรผิด

ผิด: $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$ ถูก: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ### ❌ ความเข้าใจผิดที่ 2: สับสนระหว่าง $P(A|B)$ และ $P(B|A)$

ผิด: คิด $P(A|B) = P(B|A)$ ถูก: โดยทั่วไป $P(A|B) \neq P(B|A)$ ## เคล็ดลับการเรียน 1. ✅ เข้าใจคำนิยาม: ความน่าจะเป็นในพื้นที่ตัวอย่างใหม่ 2. ✅ เชี่ยวชาญสูตร: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ 3. ✅ แยกแยะแนวคิด: แนวคิดที่ขัดแย้งกัน vs แนวคิดที่เป็นอิสระ 4. ✅ ใช้แผนภาพต้นไม้: ช่วยในการมองเห็นปัญหาที่ซับซ้อน --- 💡 เคล็ดลับการสอบ: ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเป็นกุญแจสำคัญในความน่าจะเป็นของ CSCA! ต้องเข้าใจอย่างลึกซึ้ง คิดเป็น 30-40% ของปัญหาความน่าจะเป็น