方差fāngchā

แนวคิดหลัก

ความแปรปรวน ของตัวแปรสุ่มใช้เพื่อวัดการกระจายตัวของค่าต่าง ๆ ของตัวแปรนั้นรอบค่าที่คาดหวัง (ค่าเฉลี่ย)

คำนิยาม

สำหรับตัวแปรสุ่ม $X$ ที่มีค่าคาดหวัง $\mu = E(X)$:

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = E(X^2) - (E(X))^2$

สัญลักษณ์

• $\text{Var}(X)$ หรือ $V(X)$ - ความแปรปรวนของ $X$
• $\sigma^2$ (ซิกมา สแควร์) - สัญลักษณ์ทั่วไปสำหรับความแปรปรวน
• $D(X)$ - ระบบเขียนโน้ตแบบอื่น (ใช้ในหนังสือเรียนภาษาจีน)

สูตรสองสูตร

สูตร 1: คำนิยาม

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$

สูตร 2: แบบคำนวณ (ใช้งานได้จริงมากขึ้น)

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

สูตรช่วยจำ: "ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง ลบด้วยกำลังสองของค่าเฉลี่ย"

คุณสมบัติของความแปรปรวน

1. หลักการไม่เชิงลบ

$\text{Var}(X) \geq 0$

ความเท่าเทียมจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $X$ เป็นค่าคงที่เท่านั้น

2. ตัวเลขคงที่

$\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

หมายเหตุ: ตัวประกอบนี้ ยกกำลังสอง

3. การเพิ่มค่าคงที่

$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$

การเพิ่มค่าคงที่จะไม่ทำให้ช่วงกระจายเปลี่ยนแปลง

4. การแปลงเชิงเส้นแบบรวม

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

5. ผลรวมของตัวแปรอิสระ

หาก $X$ และ $Y$ เป็น อิสระ: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

คำเตือน: สิ่งนี้ไม่ใช้ได้กับตัวแปรตาม!

6. ความแปรปรวนของค่าคงที่

$\text{Var}(c) = 0$

การแจกแจงความน่าจะเป็นทั่วไป

การจัดจำหน่าย	ความแปรปรวน
Bernoulli ($p$)	$p(1-p)$
Binomial($n, p$)	$np(1-p)$
ชุดเครื่องแบบ ($\{1,...,n\}$)	$\dfrac{n^2-1}{12}$

ข้อฝึกฝน CSCA

💡 หมายเหตุ: ข้อฝึกฝนต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามเนื้อหาของหลักสูตรสอบ CSCA

ตัวอย่าง 1: ระดับพื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

ตัวแปรสุ่ม $X$ มีลักษณะการแจกแจงดังนี้:

$X$	0	1	2
$P$	0.3	0.5	0.2

ค้นหา $\text{Var}(X)$.

วิธีแก้ปัญหา:

ก่อนอื่น ให้ค้นหา $E(X)$: $E(X) = 0(0.3) + 1(0.5) + 2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.4 = 0.9$

ค้นหา $E(X^2)$: $E(X^2) = 0^2(0.3) + 1^2(0.5) + 2^2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.8 = 1.3$

ใช้สูตร: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1.3 - 0.81 = 0.49$

คำตอบ: $\text{Var}(X) = 0.49$

---

ตัวอย่างที่ 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

หากเป็น $\text{Var}(X) = 4$ ให้หา $\text{Var}(3X + 2)$

วิธีแก้ปัญหา:

การใช้คุณสมบัติ $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$: $\text{Var}(3X + 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36$

คำตอบ: $36$

---

ตัวอย่างที่ 3: ระดับกลาง (ระดับความยาก ★★★☆☆)

โยนเหรียญที่ยุติธรรม 100 ครั้ง ให้ $X$ เป็นจำนวนครั้งที่ออกหน้า หาค่า $\text{Var}(X)$

วิธีแก้ปัญหา:

$X$ เป็นรุ่นที่ตามมาหลังจาก Binomial ($n=100$, $p=0.5$)

$\text{Var}(X) = np(1-p) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25$

คำตอบ: $\text{Var}(X) = 25$

---

ตัวอย่างที่ 4: ระดับสูง (ความยาก ★★★★☆)

หากมี $E(X) = 2$ และ $E(X^2) = 8$ ให้หา $\text{Var}(2X - 3)$

วิธีแก้ปัญหา:

ก่อนอื่น ให้ค้นหา $\text{Var}(X)$: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 8 - 4 = 4$

จากนั้น: $\text{Var}(2X - 3) = 2^2 \cdot \text{Var}(X) = 4 \times 4 = 16$

คำตอบ: $16$

---

ตัวอย่าง 5: ระดับสูง (ระดับความยาก ★★★★★)

หาก $X$ และ $Y$ ไม่เกี่ยวข้องกับ $\text{Var}(X) = 2$ และ $\text{Var}(Y) = 3$ ให้หาค่าของ $\text{Var}(2X - 3Y + 1)$

วิธีแก้ปัญหา:

การใช้คุณสมบัติ: $\text{Var}(2X - 3Y + 1) = \text{Var}(2X - 3Y)$ $= \text{Var}(2X) + \text{Var}(-3Y)$ (independence) $= 4\text{Var}(X) + 9\text{Var}(Y)$ $= 4(2) + 9(3) = 8 + 27 = 35$

คำตอบ: $35$

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ รากที่สองของความแปรปรวน: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีหน่วยเดียวกันกับ $X$ ซึ่งทำให้การตีความผลเป็นไปได้ง่ายขึ้น

ความแปรปรวนเทียบกับค่าคาดหวัง

ทรัพย์สิน	ค่าคาดการณ์ $E(X)$	รุ่น $\text{Var}(X)$
มาตรการ	ศูนย์ (สถานที่)	การกระจาย (การกระจายตัว)
การแปลงเชิงเส้น	$E(aX+b) = aE(X)+b$	$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$
ผลรวม	เพิ่มเข้าไปเสมอ	ใช้ตัวเสริมได้เฉพาะเมื่อเป็นอิสระ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: ลืมปรับสัมประสิทธิ์ให้เป็นกำลังสอง

ผิด: $\text{Var}(3X) = 3 \cdot \text{Var}(X)$ ✗

ถูกต้อง: $\text{Var}(3X) = 9 \cdot \text{Var}(X)$ ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: การเพิ่มค่าความแปรปรวนของตัวแปรตาม

ผิด: หาก $X$ และ $Y$ มีความสัมพันธ์กัน $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ ✗

ถูกต้อง: สิ่งนี้ใช้ได้เฉพาะกับตัวแปร อิสระ เท่านั้น ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: การสับสนระหว่างความแปรปรวนกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ผิด: ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ Binomial($n,p$) คือ $np(1-p)$ ✗

ถูกต้อง: ค่าความแปรปรวนคือ $np(1-p)$; ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ $\sqrt{np(1-p)}$ ✓

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ ใช้สูตรคำนวณ: $E(X^2) - (E(X))^2$ มักจะง่ายกว่า
2. ✅ จำไว้ว่าสัมประสิทธิ์ต้องยกกำลังสอง: $\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X)$
3. ✅ ตรวจสอบความเป็นอิสระ: ความแปรปรวนของผลรวมจะเพิ่มขึ้นเฉพาะเมื่อตัวแปรเป็นอิสระกันเท่านั้น
4. ✅ รู้ค่าความแปรปรวนของพหุนาม: $np(1-p)$ เป็นหัวข้อที่มักถูกออกสอบ

---

💡 เคล็ดลับสำหรับการสอบ: เมื่อคำนวณความแปรปรวน ให้หาค่า $E(X)$ และ $E(X^2)$ แยกกันก่อนเสมอ สูตรการคำนวณนี้มีความเสี่ยงที่จะเกิดข้อผิดพลาดน้อยกว่าการคำนวณตามนิยาม!