方差fāngchā

แนวคิดหลัก

ความแปรปรวน ของตัวแปรสุ่มวัดการกระจายของค่าต่าง ๆ รอบค่าคาดหวัง (ค่าเฉลี่ย)

นิยาม

สำหรับตัวแปรสุ่ม $X$ ที่มีค่าคาดหวัง $\mu = E(X)$:

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = E(X^2) - (E(X))^2$

สัญลักษณ์

• $\text{Var}(X)$ หรือ $V(X)$ - ความแปรปรวนของ $X$
• $\sigma^2$ (ซิกมากำลังสอง) - สัญลักษณ์ทั่วไปสำหรับความแปรปรวน
• $D(X)$ - สัญลักษณ์ทางเลือก (ใช้ในตำราเรียนจีน)

สองสูตร

สูตรที่ 1: นิยาม

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$

สูตรที่ 2: สูตรคำนวณ (ใช้ง่ายกว่า)

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

วิธีจำ: "ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง ลบ กำลังสองของค่าเฉลี่ย"

สมบัติของความแปรปรวน

1. ไม่เป็นลบ

$\text{Var}(X) \geq 0$

เท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อ $X$ เป็นค่าคงที่

2. ตัวคูณคงที่

$\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

หมายเหตุ: ตัวคูณต้องยกกำลังสอง

3. การบวกค่าคงที่

$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$

การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

4. การแปลงเชิงเส้นรวม

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

5. ผลรวมของตัวแปรอิสระ

ถ้า $X$ และ $Y$ เป็นอิสระต่อกัน: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

คำเตือน: สูตรนี้ไม่ใช้กับตัวแปรที่ไม่เป็นอิสระ!

6. ความแปรปรวนของค่าคงที่

$\text{Var}(c) = 0$

การแจกแจงที่พบบ่อย

การแจกแจง	ความแปรปรวน
แบร์นูลลี($p$)	$p(1-p)$
ทวินาม($n, p$)	$np(1-p)$
สม่ำเสมอแบบไม่ต่อเนื่อง($\{1,...,n\}$)	$\dfrac{n^2-1}{12}$

แบบฝึกหัด CSCA

💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA

ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

ตัวแปรสุ่ม $X$ มีการแจกแจง:

$X$	0	1	2
$P$	0.3	0.5	0.2

จงหา $\text{Var}(X)$

วิธีทำ:

หา $E(X)$ ก่อน: $E(X) = 0(0.3) + 1(0.5) + 2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.4 = 0.9$

หา $E(X^2)$: $E(X^2) = 0^2(0.3) + 1^2(0.5) + 2^2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.8 = 1.3$

แทนค่าในสูตร: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1.3 - 0.81 = 0.49$

คำตอบ: $\text{Var}(X) = 0.49$

---

ตัวอย่าง 2: ระดับกลาง (ระดับความยาก ★★★☆☆)

ถ้า $\text{Var}(X) = 4$ จงหา $\text{Var}(3X + 2)$

วิธีทำ:

ใช้สมบัติ $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$: $\text{Var}(3X + 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36$

คำตอบ: $36$

---

ตัวอย่าง 3: ขั้นสูง (ระดับความยาก ★★★★☆)

ถ้า $E(X) = 2$ และ $E(X^2) = 8$ จงหา $\text{Var}(2X - 3)$

วิธีทำ:

หา $\text{Var}(X)$ ก่อน: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 8 - 4 = 4$

จากนั้น: $\text{Var}(2X - 3) = 2^2 \cdot \text{Var}(X) = 4 \times 4 = 16$

คำตอบ: $16$

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือรากที่สองของความแปรปรวน: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีหน่วยเดียวกับ $X$ จึงตีความได้ง่ายกว่า

ความแปรปรวน vs. ค่าคาดหวัง

สมบัติ	ค่าคาดหวัง $E(X)$	ความแปรปรวน $\text{Var}(X)$
วัด	จุดศูนย์กลาง (ตำแหน่ง)	การกระจาย (ความกว้าง)
การแปลงเชิงเส้น	$E(aX+b) = aE(X)+b$	$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$
ผลรวม	บวกกันได้เสมอ	บวกกันได้เฉพาะเมื่อเป็นอิสระ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: ลืมยกกำลังสองตัวสัมประสิทธิ์

ผิด: $\text{Var}(3X) = 3 \cdot \text{Var}(X)$ ✗

ถูก: $\text{Var}(3X) = 9 \cdot \text{Var}(X)$ ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: บวกความแปรปรวนของตัวแปรที่ไม่เป็นอิสระ

ผิด: ถ้า $X$ และ $Y$ ไม่เป็นอิสระ $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ ✗

ถูก: ใช้ได้เฉพาะกับตัวแปรอิสระเท่านั้น ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: สับสนระหว่างความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ผิด: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงทวินาม($n,p$) คือ $np(1-p)$ ✗

ถูก: ความแปรปรวนคือ $np(1-p)$; ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ $\sqrt{np(1-p)}$ ✓

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ ใช้สูตรคำนวณ: $E(X^2) - (E(X))^2$ มักจะง่ายกว่า
2. ✅ จำว่าสัมประสิทธิ์ต้องยกกำลังสอง: $\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X)$
3. ✅ ตรวจสอบความเป็นอิสระ: ความแปรปรวนของผลรวมบวกกันได้เฉพาะตัวแปรอิสระ
4. ✅ จำความแปรปรวนทวินาม: $np(1-p)$ ออกสอบบ่อย

---

💡 เคล็ดลับสอบ: เมื่อคำนวณความแปรปรวน ให้หา $E(X)$ และ $E(X^2)$ แยกกันก่อนเสมอ สูตรคำนวณผิดพลาดน้อยกว่าสูตรนิยาม!