二次函数èrcì hánshù

Основное понятие

Квадратичная функция -- это многочлен второй степени:

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$

где $a$, $b$, $c$ -- постоянные и $a \neq 0$.

Три формы записи

Форма	Выражение	Ключевая особенность
Общая форма	$y = ax^2 + bx + c$	Показывает точку пересечения с осью y: $c$
Каноническая форма	$y = a(x-h)^2 + k$	Показывает вершину $(h, k)$
Факторизованная форма	$y = a(x-x_1)(x-x_2)$	Показывает корни $x_1, x_2$

Вершина

Вершина -- это наивысшая или наинизшая точка параболы.

Координаты вершины

$h = -\frac{b}{2a}, \quad k = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Или эквивалентно: $k = f(h) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Каноническая форма

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

где $(h, k)$ -- вершина параболы.

Свойства графика

Направление ветвей

• $a > 0$: Парабола направлена вверх (U-образная), вершина -- минимум
• $a < 0$: Парабола направлена вниз (∩-образная), вершина -- максимум

Ось симметрии

$x = -\frac{b}{2a} = h$

Парабола симметрична относительно этой вертикальной прямой.

Точка пересечения с осью Y

Точка пересечения с осью y находится в $(0, c)$, при подстановке $x = 0$.

Нули функции (точки пересечения с осью X)

Находятся решением уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$ определяет:

• $\Delta > 0$: Два различных корня
• $\Delta = 0$: Один корень (вершина касается оси x)
• $\Delta < 0$: Нет действительных корней

Монотонность

При $a > 0$:

• Убывает на $(-\infty, h]$
• Возрастает на $[h, +\infty)$

При $a < 0$:

• Возрастает на $(-\infty, h]$
• Убывает на $[h, +\infty)$

Область значений

При $a > 0$:

$\text{Область значений} = [k, +\infty)$

При $a < 0$:

$\text{Область значений} = (-\infty, k]$

Практические задачи CSCA

💡 Примечание: Следующие задачи составлены в соответствии с программой экзамена CSCA.

Пример 1: Базовый уровень (Сложность ★★☆☆☆)

Найдите вершину функции $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

Решение:

Способ 1 (Формула): $h = -\frac{-6}{2(1)} = 3$ $k = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$

Способ 2 (Выделение полного квадрата): $f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$

Ответ: Вершина -- $(3, -4)$

---

Пример 2: Средний уровень (Сложность ★★★☆☆)

Найдите область значений $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ на $[0, 3]$.

Решение:

Выделяем полный квадрат: $f(x) = -(x^2 - 4x) - 1 = -(x-2)^2 + 4 - 1 = -(x-2)^2 + 3$

Вершина в $(2, 3)$, парабола направлена вниз.

Так как $2 \in [0, 3]$, максимум в вершине: $f(2) = 3$

Проверяем концы отрезка:

• $f(0) = -1$
• $f(3) = -9 + 12 - 1 = 2$

Минимум равен $f(0) = -1$.

Ответ: Область значений $[-1, 3]$

---

Пример 3: Продвинутый уровень (Сложность ★★★★☆)

Если $f(x) = x^2 - 2ax + a$ имеет минимальное значение $-2$ на $[0, 2]$, найдите $a$.

Решение:

$f(x) = (x-a)^2 + a - a^2$, вершина в $(a, a-a^2)$.

Случай 1: $a < 0$ (вершина левее отрезка) Минимум при $x = 0$: $f(0) = a = -2$ Проверка: вершина в $(-2, -2-4) = (-2, -6)$, но $f(0) = -2 \neq -6$. ✓ Значит, $a = -2$ подходит.

Случай 2: $0 \leq a \leq 2$ (вершина внутри отрезка) Минимум в вершине: $a - a^2 = -2$ $a^2 - a - 2 = 0$ $(a-2)(a+1) = 0$ $a = 2$ или $a = -1$ Только $a = 2$ принадлежит $[0, 2]$. Проверка: $f(x) = (x-2)^2$, минимум при $x=2$ равен $0 \neq -2$. ✗

Случай 3: $a > 2$ (вершина правее отрезка) Минимум при $x = 2$: $f(2) = 4 - 4a + a = 4 - 3a = -2$ $a = 2$, противоречит $a > 2$. ✗

Ответ: $a = -2$

---

Пример 4: Продвинутый уровень (Сложность ★★★★☆)

Найдите все значения $m$, при которых $f(x) = x^2 - mx + 1 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Решение:

Чтобы $f(x) > 0$ для всех $x$, парабола должна быть направлена вверх (✓, $a = 1 > 0$) и не иметь действительных корней.

Для этого необходимо $\Delta < 0$: $\Delta = m^2 - 4(1)(1) = m^2 - 4 < 0$ $m^2 < 4$ $-2 < m < 2$

Ответ: $m \in (-2, 2)$

Преобразование между формами

Из общей формы в каноническую

Дано $f(x) = ax^2 + bx + c$:

1. Вынесем $a$ из первых двух слагаемых: $f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$
2. Выделим полный квадрат: $f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$
3. Упростим: $f(x) = a(x - h)^2 + k$, где $h = -\frac{b}{2a}$, $k = c - \frac{b^2}{4a}$

Из канонической формы в общую

Дано $f(x) = a(x-h)^2 + k$:

Раскроем скобки: $f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k$

Следовательно, $b = -2ah$ и $c = ah^2 + k$.

Типичные ошибки

❌ Ошибка 1: Неправильный знак в формуле вершины

Неверно: $h = \frac{b}{2a}$ ✗

Верно: $h = -\frac{b}{2a}$ ✓

❌ Ошибка 2: Игнорирование области определения при нахождении области значений

Неверно: Область значений $f(x) = x^2$ на $[1, 3]$ равна $[0, +\infty)$ ✗

Верно: На $[1, 3]$ минимум равен $f(1) = 1$, поэтому область значений $[1, 9]$ ✓

❌ Ошибка 3: Неправильное определение положения вершины

При ограниченной области определения вершина может находиться вне этой области. Проверьте, находится ли вершина внутри, левее или правее отрезка.

Советы по подготовке

1. ✅ Освойте выделение полного квадрата: Необходимо для нахождения вершины
2. ✅ Знайте три случая: Вершина внутри, левее или правее отрезка
3. ✅ Используйте дискриминант: Для задач о пересечениях с осью x
4. ✅ Рисуйте эскизы: Визуализация параболы помогает избежать ошибок

---

💡 Совет для экзамена: В задачах с ограниченной областью определения сначала определите положение вершины относительно отрезка, затем проверьте концы. Экстремальные значения достигаются либо в вершине (если она внутри области), либо на концах!