导数dǎoshù

Основное понятие

Производная — это основное понятие в математическом анализе, описывающее мгновенную скорость изменения функции в данной точке. Геометрически она представляет собой наклон касательной к кривой в этой точке.

Математическое определение

Производная функции$y = f(x)$

в точке$x_0$

определяется как:$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Если этот предел существует, функция$f(x)$

называется дифференцируемой в$x_0$

точке .

Обозначения производной

-$f'(x)$

• Обозначение Лагранжа -$\frac{dy}{dx}$

• Обозначение Лейбница -$y'$

• Сокращенная форма -$\frac{df}{dx}$

• Дифференциальная форма

Распространенные формулы производной

Основные функции

1. Константа: $(C)' = 0$

2. Степень: $(x^n)' = nx^{n-1}$

3. Экспонента:$(e^x)' = e^x$

, $(a^x)' = a^x \ln a$

4. Логарифм: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

5. Тригонометрическая функция:

$(\sin x)' = \cos x$

• $(\cos x)' = -\sin x$

###$(\tan x)' = \sec^2 x$

Правила дифференцирования

1. Сумма/разность:$(f \pm g)' = f' \pm g'$

2. Произведение:

3. Коэффициент: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

4.$(fg)' = f'g + fg'$

Цепочка: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Применения

1. Нахождение касательных линий

Касательная линия к кривой$y = f(x)$

в точке$(x_0, f(x_0))$

:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

2. Определение монотонности

-$f'(x) > 0$

→ функция возрастающая -$f'(x) < 0$

→ функция убывающая -$f'(x) = 0$

→ возможно экстремум

3. Нахождение экстремумов

Шаги:

1. Найти производную $f'(x)$

2. Решить$f'(x) = 0$

для критических точек 3. Проверить изменение знака вокруг критических точек

Практические задачи CSCA

> 💡 Примечание: Следующие практические задачи разработаны на основе программы экзамена CSCA и форматов стандартизированных тестов Китая, чтобы помочь студентам ознакомиться с типами вопросов и подходами к решению задач.

Пример 1: базовый (сложность ★★☆☆☆)

Найдите производную .$f(x) = x^3 + 2x$

Решение:

---

$f'(x) = 3x^2 + 2$

Пример 2: средний (сложность ★★★☆☆)

Найдите уравнение касательной к$y = x^2$

в точке$(1, 1)$

.

Решение:

Шаг 1: Найдите производную $y' = 2x$

Шаг 2: Найдите наклон в точке$x=1$

:$k = 2(1) = 2$

Шаг 3: Запишите уравнение касательной:

$y - 1 = 2(x - 1)$ $y = 2x - 1$

Ответ:

---$y = 2x - 1$

Пример 3: Продвинутый уровень (Сложность ★★★★☆)

Найдите экстремумы .$f(x) = x^3 - 3x$

Решение:

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$

Критические точки: $x = -1, 1$

• Максимум:$f(-1) = 2$

в точке$x = -1$

• Минимум:$f(1) = -2$

в точке$x = 1$

Распространенные ошибки

❌ Ошибка 1:

$(x^2)' = 2$

Исправление:$(x^2)' = 2x$

, а не 2! Не забудьте сохранить$x$

.

❌ Ошибка 2:$(fg)' = f'g'$

Исправление: Правило произведения —$(fg)' = f'g + fg'$

, а не$f'g'$

!

❌ Ошибка 3:$f'(x_0) = 0$

всегда означает экстремум

Исправление:$f'(x_0) = 0$

— это только необходимое условие. Необходимо проверить изменение знака.

Советы по изучению

1. ✅ Поймите определение: производная = мгновенная скорость = наклон касательной
2. ✅ Запомните формулы: изучите основные производные и правила.
3. ✅ Практикуйтесь: особенно в применении правила цепочки.
4. ✅ Применение: производные широко используются в оптимизации.

---

💡 Совет по экзамену: производные составляют около 15% математических вопросов CSCA. Освойте основные правила дифференцирования и геометрические применения!