值域zhíyù

Основное понятие

Область значений функции $f$ — это множество всех возможных выходных значений (значений y), которые функция может принимать.

Математическое определение

$\text{Область значений}(f) = \{y \mid y = f(x) \text{ для некоторого } x \in \text{Область определения}(f)\}$

Область значений также называют множеством значений или образом функции.

Область определения vs. Область значений

Понятие	Обозначение	Описание
Область определения	$D_f$	Множество всех допустимых входных значений (x)
Область значений	$R_f$	Множество всех выходных значений (y)

Ключевая связь: Область значений зависит как от правила функции, ТАК И от области определения.

Методы нахождения области значений

Метод 1: Прямой анализ (观察法)

Для простых функций — непосредственный анализ поведения.

Пример: $f(x) = x^2$, $x \in \mathbb{R}$

Так как $x^2 \geq 0$ для всех действительных $x$, и $x^2$ может быть сколь угодно большим:

Область значений: $[0, +\infty)$

Метод 2: Метод обратной функции (反函数法)

1. Запишем $y = f(x)$
2. Выразим $x$ через $y$
3. Найдём значения $y$, при которых $x$ определён

Пример: $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, $x \neq 1$

Пусть $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$

Решим относительно $x$: $y(x - 1) = 2x + 1$ $xy - y = 2x + 1$ $xy - 2x = y + 1$ $x(y - 2) = y + 1$ $x = \dfrac{y + 1}{y - 2}$

Чтобы $x$ существовал, необходимо $y \neq 2$.

Область значений: $\{y \mid y \neq 2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$

Метод 3: Метод монотонности (单调性法)

Используем монотонность функции для нахождения области значений по области определения.

Пример: $f(x) = 2^x$, $x \in [-1, 2]$

Так как $f(x) = 2^x$ строго возрастает:

• Минимум: $f(-1) = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$
• Максимум: $f(2) = 2^2 = 4$

Область значений: $[\dfrac{1}{2}, 4]$

Метод 4: Выделение полного квадрата (配方法)

Для квадратичных функций $f(x) = ax^2 + bx + c$.

Пример: $f(x) = x^2 - 4x + 5$, $x \in \mathbb{R}$

Выделим полный квадрат: $f(x) = (x - 2)^2 + 1$

Так как $(x - 2)^2 \geq 0$, минимальное значение равно 1 при $x = 2$.

Область значений: $[1, +\infty)$

Метод 5: Метод подстановки (换元法)

Пример: $f(x) = x + \sqrt{x - 1}$, $x \geq 1$

Пусть $t = \sqrt{x - 1}$, где $t \geq 0$

Тогда $x = t^2 + 1$, следовательно: $f = t^2 + 1 + t = t^2 + t + 1 = (t + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4}$

Так как $t \geq 0$, минимум достигается при $t = 0$: $f_{\min} = 0 + 0 + 1 = 1$

Область значений: $[1, +\infty)$

Практические задания CSCA

💡 Примечание: Следующие задания разработаны на основе программы экзамена CSCA.

Пример 1: Базовый (Сложность ★★☆☆☆)

Найдите область значений $f(x) = 3x - 2$, $x \in [0, 4]$.

Решение: Линейная функция строго возрастает.

• При $x = 0$: $f(0) = -2$
• При $x = 4$: $f(4) = 10$

Ответ: $[-2, 10]$

---

Пример 2: Средний уровень (Сложность ★★★☆☆)

Найдите область значений $f(x) = x^2 - 2x + 3$, $x \in [-1, 2]$.

Решение:

Выделим полный квадрат: $f(x) = (x - 1)^2 + 2$

Вершина в $x = 1$ (внутри области определения), минимум = 2

Проверим граничные точки:

• $f(-1) = 1 + 2 + 3 = 6$
• $f(2) = 4 - 4 + 3 = 3$

Ответ: $[2, 6]$

---

Пример 3: Продвинутый (Сложность ★★★★☆)

Найдите область значений $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$, $x \in \mathbb{R}$.

Решение:

Пусть $y = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$

Перемножим крест-накрест: $y(x^2 + 2) = x^2 + 1$

$yx^2 + 2y = x^2 + 1$

$x^2(y - 1) = 1 - 2y$

$x^2 = \dfrac{1 - 2y}{y - 1}$

Для существования действительного $x$ необходимо $x^2 \geq 0$: $\dfrac{1 - 2y}{y - 1} \geq 0$

$(1 - 2y)$ и $(y - 1)$ должны иметь одинаковый знак.

• Случай 1: Оба положительны: $y < \dfrac{1}{2}$ и $y > 1$ → невозможно
• Случай 2: Оба отрицательны: $y > \dfrac{1}{2}$ и $y < 1$ → $\dfrac{1}{2} < y < 1$

Кроме того, при $x^2 \to +\infty$, $y \to 1$ (но не равно 1). При $x = 0$: $y = \dfrac{1}{2}$ (достижимо).

Ответ: $[\dfrac{1}{2}, 1)$

Типичные ошибки

❌ Ошибка 1: Игнорирование ограничений области определения

Неверно: Область значений $f(x) = \sqrt{x}$ — это $\mathbb{R}$ ✗

Верно: Область значений $f(x) = \sqrt{x}$ — это $[0, +\infty)$ ✓

❌ Ошибка 2: Неправильный метод для ограниченной области определения

Неверно: Для $f(x) = x^2$, $x \in [1, 3]$, область значений — $[0, 9]$ ✗

Верно: Область значений — $[1, 9]$ (минимум при $x = 1$, а не при $x = 0$) ✓

❌ Ошибка 3: Забыли проверить граничные точки

Всегда проверяйте значения функции на границах области определения.

Советы по подготовке

1. ✅ Сначала определите тип функции: Линейная, квадратичная, дробная и т.д.
2. ✅ Проверьте, ограничена ли область определения: Если ограничена — используйте монотонность
3. ✅ Для квадратичных функций найдите вершину: Находится ли она в области определения?
4. ✅ Для дробных функций используйте метод обратной функции: Выразите $x$ через $y$

---

💡 Совет к экзамену: Для ограниченных областей определения всегда проверяйте и вершину (для квадратичных функций), И граничные точки!