单调性dāndiàoxìng

Основное понятие

Монотонность описывает, является ли функция на интервале постоянно возрастающей или постоянно убывающей. Функция называется монотонной на интервале, если она на всём этом интервале либо только возрастает, либо только убывает.

Определения

Возрастающая функция (递增函数)

Функция $f$ возрастает на интервале $I$, если: $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Эквивалентно: больший вход → больший выход.

Убывающая функция (递减函数)

Функция $f$ убывает на интервале $I$, если: $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Эквивалентно: больший вход → меньший выход.

Нестрогая монотонность

• Неубывающая: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$
• Невозрастающая: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$

Методы определения монотонности

Метод 1: Метод определения (定义法)

1. Возьмём произвольные $x_1, x_2$ из интервала, где $x_1 < x_2$
2. Вычислим $f(x_1) - f(x_2)$
3. Определим знак разности:
   • Всегда отрицательный → возрастающая
   • Всегда положительный → убывающая

Пример: Доказать, что $f(x) = x^2$ возрастает на $(0, +\infty)$.

Для $0 < x_1 < x_2$: $f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$

Так как $x_1 < x_2$: $(x_1 - x_2) < 0$ Так как $x_1, x_2 > 0$: $(x_1 + x_2) > 0$

Следовательно: $f(x_1) - f(x_2) < 0$, то есть $f(x_1) < f(x_2)$.

Вывод: $f(x) = x^2$ возрастает на $(0, +\infty)$.

Метод 2: Метод производной (导数法)

Для дифференцируемых функций:

• $f'(x) > 0$ на интервале $I$ → $f$ возрастает на $I$
• $f'(x) < 0$ на интервале $I$ → $f$ убывает на $I$

Пример: Найти промежутки монотонности $f(x) = x^3 - 3x$.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

• $f'(x) > 0$: при $x < -1$ или $x > 1$
• $f'(x) < 0$: при $-1 < x < 1$

Промежутки монотонности:

• Возрастание: $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$
• Убывание: $(-1, 1)$

Монотонность основных функций

Функция	Промежуток возрастания	Промежуток убывания
$y = kx + b$ ($k > 0$)	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = kx + b$ ($k < 0$)	—	$(-\infty, +\infty)$
$y = x^2$	$[0, +\infty)$	$(-\infty, 0]$
$y = \dfrac{1}{x}$	—	$(-\infty, 0)$, $(0, +\infty)$
$y = \sqrt{x}$	$[0, +\infty)$	—
$y = a^x$ ($a > 1$)	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = a^x$ ($0 < a < 1$)	—	$(-\infty, +\infty)$

Практические задачи CSCA

💡 Примечание: Следующие задачи разработаны на основе программы экзамена CSCA.

Пример 1: базовый (сложность ★★☆☆☆)

Определите промежутки монотонности $f(x) = -x^2 + 4x$.

Решение:

$f(x) = -(x^2 - 4x) = -(x - 2)^2 + 4$

Это парабола, ветви направлены вниз, вершина в точке $x = 2$.

• Возрастание: $(-\infty, 2]$
• Убывание: $[2, +\infty)$

Ответ: Возрастает на $(-\infty, 2]$, убывает на $[2, +\infty)$

---

Пример 2: средний (сложность ★★★☆☆)

Доказать, что $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ возрастает на $(-1, +\infty)$.

Решение:

Пусть $-1 < x_1 < x_2$.

$f(x_1) - f(x_2) = \dfrac{x_1}{x_1+1} - \dfrac{x_2}{x_2+1}$

$= \dfrac{x_1(x_2+1) - x_2(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1x_2 + x_1 - x_1x_2 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

Так как $x_1 < x_2$: числитель $< 0$ Так как $x_1, x_2 > -1$: $(x_1+1)(x_2+1) > 0$

Следовательно: $f(x_1) - f(x_2) < 0$, то есть $f(x_1) < f(x_2)$.

Вывод: $f(x)$ возрастает на $(-1, +\infty)$.

---

Пример 3: продвинутый (сложность ★★★★☆)

Если $f(x) = x^2 - 2ax + 1$ возрастает на $[1, +\infty)$, найдите область значений $a$.

Решение:

$f(x) = (x - a)^2 + 1 - a^2$

Вершина находится в точке $x = a$.

Чтобы $f(x)$ возрастала на $[1, +\infty)$, вершина должна находиться в точке $x = 1$ или левее.

Следовательно: $a \leq 1$

Ответ: $a \leq 1$, то есть $(-\infty, 1]$

Свойства монотонных функций

1. Правила композиции

$f$	$g$	$f \circ g$
Возрастающая	Возрастающая	Возрастающая
Возрастающая	Убывающая	Убывающая
Убывающая	Возрастающая	Убывающая
Убывающая	Убывающая	Возрастающая

Мнемоника: «Одинаковые → Возрастающая, Различные → Убывающая» (同增异减)

2. Обратная функция

Если $f$ строго монотонна, то $f^{-1}$ существует и имеет ту же монотонность, что и $f$.

Распространённые ошибки

❌ Ошибка 1: Путать промежуток монотонности с областью определения

Неверно: $y = \dfrac{1}{x}$ убывает на $(-\infty, +\infty)$ ✗

Верно: $y = \dfrac{1}{x}$ убывает на $(-\infty, 0)$ И на $(0, +\infty)$ по отдельности ✓

❌ Ошибка 2: Объединение несвязных интервалов

Неверно: $y = \dfrac{1}{x}$ убывает на $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ ✗

Верно: Указывать интервалы раздельно: убывает на $(-\infty, 0)$ и на $(0, +\infty)$ ✓

❌ Ошибка 3: Игнорирование граничных условий в доказательстве

При доказательстве монотонности убедитесь, что $x_1 < x_2$ оба принадлежат указанному интервалу.

Советы по изучению

1. ✅ Освоить определение: $x_1 < x_2$ — что следует о $f(x_1)$ и $f(x_2)$?
2. ✅ Знать основные функции: Запомнить монотонность стандартных функций
3. ✅ Использовать производные: Для сложных функций метод производной быстрее
4. ✅ Не объединять несвязные интервалы: Всегда указывать каждый интервал отдельно

---

💡 Совет по экзамену: Для квадратичных функций всегда сначала находите вершину. Монотонность меняется в вершине!