判别式pànbiéshì

Основная концепция

Дискримиант квадратичного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ определяется следующим образом:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Дискриминант определяет характер (тип и количество) корней квадратного уравнения.

Анализ корней

Дискриминант	Число действительных корней	Природа корней
$\Delta > 0$	Два	Два различных действительных корня
$\Delta = 0$	Один	Один повторяющийся действительный корень (двойной корень)
$\Delta < 0$	Ноль	Два комплексно-сопряжённых корня

Пример 1: $\Delta > 0$ (два различных действительных корня)

Корни заключаются в следующем: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

Пример 2: $\Delta = 0$ (один повторяющийся корень)

Корень: $x = -\frac{b}{2a}$

В этой точке парабола касается оси x.

Пример 3: $\Delta < 0$ (без действительных корней)

Причины этого явления многогранны: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$

Парабола не пересекает ось x.

Графическая интерпретация

Для квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$:

• $\Delta > 0$: Парабола пересекает ось x в двух точках
• $\Delta = 0$: Парабола пересекает ось x ровно в одной точке (вершине)
• $\Delta < 0$: Парабола не пересекает ось x

Практические задачи CSCA

💡 Примечание: Приведенные ниже практические задачи составлены в соответствии с программой экзамена CSCA.

Пример 1: Базовый уровень (Сложность ★★☆☆☆)

Определите характер корней для $x^2 - 4x + 4 = 0$.

Решение: $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$

Начиная с $\Delta = 0$, имеется один повторяющийся корень.

Ответ: Один повторяющийся действительный корень: $x = 2$

---

Пример 2: Средний уровень (Сложность ★★★☆☆)

При каких значениях $k$ уравнение $x^2 + kx + 9 = 0$ имеет два равных действительных корня?

Решение:

Для равных корней нам потребуется формула $\Delta = 0$: $\Delta = k^2 - 4(1)(9) = k^2 - 36 = 0$ $k^2 = 36$ $k = \pm 6$

Ответ: $k = 6$ или $k = -6$

---

Пример 3: Продвинутый уровень (Сложность ★★★★☆)

Найдите интервал значений $m$, при котором уравнение $x^2 + 2x + m = 0$ имеет два различных отрицательных корня.

Решение:

Пусть $x_1, x_2$ — корни. Нам нужно:

1. Два различных действительных корня: $\Delta > 0$
2. Оба корня отрицательны: $x_1 + x_2 < 0$ И $x_1 \cdot x_2 > 0$

Из формул Виета:

• $x_1 + x_2 = -2 < 0$ ✓ (всегда доволен)
• $x_1 \cdot x_2 = m > 0$

Из дискриминанта: $\Delta = 4 - 4m > 0$ $1 - m > 0$ $m < 1$

Комбинация: $0 < m < 1$

Ответ: $m \in (0, 1)$

---

Пример 4: Продвинутый уровень (Сложность ★★★★☆)

Если у $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) имеются корни $x_1$ и $x_2$, выразите $|x_1 - x_2|$ через $a$, $b$ и $c$.

Решение:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

Согласно формулам Виета: $(x_1 - x_2)^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4 \cdot \frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2}$

Следовательно: $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$

Ответ: $|x_1 - x_2| = \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$

Приложения

1. Пересечение прямой и кривой

Чтобы определить, сколько раз прямая пересекает параболу:

1. Подставьте уравнение прямой в уравнение параболы
2. Получить квадратное уравнение
3. Используйте дискриминант для подсчета точек пересечения

2. Условия касательности

Прямая является касательной к параболе, если $\Delta = 0$.

Пример: Чтобы $y = x^2$ и $y = kx - 1$ были касательными: $x^2 = kx - 1$ $x^2 - kx + 1 = 0$ $\Delta = k^2 - 4 = 0$ $k = \pm 2$

Распространенные ошибки

❌ Ошибка 1: Ошибка знака в формуле

Неправильно: $\Delta = b^2 + 4ac$ ✗

Правильно: $\Delta = b^2 - 4ac$ ✓

❌ Ошибка 2: Неучёт всех условий

При нахождении корней с определёнными свойствами (оба положительные, оба отрицательные и т. д.) необходимо проверить:

• Дискриминантное условие ($\Delta$)
• Условие суммы корней
• Условие произведения корней

❌ Ошибка 3: Путаница между случаями с равными корнями и случаями без корней

Неверно: $\Delta = 0$ означает отсутствие действительных корней ✗

Правильно: $\Delta = 0$ означает один повторяющийся действительный корень; $\Delta < 0$ означает отсутствие действительных корней ✓

Советы по учебе

1. ✅ Запомните формулу: $\Delta = b^2 - 4ac$
2. ✅ Подключение к графикам: визуализация пересечения, касания и отсутствия пересечения параболы с осью x
3. ✅ Используйте в сочетании с формулой Виета: для решения многих задач требуются как формула дискриминанта, так и формула Виета
4. ✅ Проверить все условия: для корней с ограничениями проверьте $\Delta$, сумму и произведение

---

💡 Совет по сдаче экзамена: Дискриминант встречается во многих задачах CSCA, посвящённых существованию корней. Всегда сначала проверяйте задачу $\Delta$, если в условии упоминаются «действительные корни» или «отсутствие действительных корней»!