判别式pànbiéshì

Основная концепция

Дискриминант (обозначается $\Delta$) — это ключевое значение, вычисляемое из коэффициентов квадратного уравнения, которое определяет характер и количество его корней.

Определение

Для квадратного уравнения в стандартной форме:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

дискриминант определяется как:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Это выражение появляется под знаком корня в формуле квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Три случая

Случай 1: $\Delta > 0$ — Два различных вещественных корня

Уравнение имеет два различных вещественных решения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

Пример: $x^2 - 5x + 6 = 0$

$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0$

$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Случай 2: $\Delta = 0$ — Один кратный корень (повторяющийся корень)

Уравнение имеет ровно одно вещественное решение (кратный корень):

$x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$

Пример: $x^2 - 6x + 9 = 0$

$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$

$x = \frac{6}{2} = 3$

Случай 3: $\Delta < 0$ — Нет вещественных корней

Уравнение не имеет вещественных решений (два комплексных сопряжённых корня).

Пример: $x^2 + 2x + 5 = 0$

$\Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0$

Вещественных корней нет.

Графическая интерпретация

Дискриминант определяет, как парабола $y = ax^2 + bx + c$ пересекает ось x:

Дискриминант	Парабола и ось x	Количество точек пересечения
$\Delta > 0$	Пересекает ось x в двух точках	2
$\Delta = 0$	Касается оси x в одной точке (вершина)	1
$\Delta < 0$	Не пересекает ось x	0

Если $a > 0$ (парабола направлена вверх) и $\Delta < 0$, вся парабола расположена выше оси x, то есть $ax^2 + bx + c > 0$ для всех вещественных $x$.

Практические задачи CSCA

💡 Примечание: Следующие практические задачи разработаны на основе программы экзамена CSCA и форматов стандартизированных тестов в Китае, чтобы помочь студентам ознакомиться с типами вопросов и подходами к решению задач.

Задача 1: Базовый уровень (Сложность ★★☆☆☆)

Определите дискриминант и характер корней для: $2x^2 + 3x - 2 = 0$

Решение:

$\Delta = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 > 0$

Так как $\Delta > 0$, уравнение имеет два различных вещественных корня.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -2$

---

Задача 2: Средний уровень (Сложность ★★★☆☆)

При каких значениях $m$ уравнение $x^2 + mx + 4 = 0$ не имеет вещественных корней?

Решение:

Отсутствие вещественных корней означает $\Delta < 0$:

$\Delta = m^2 - 4(1)(4) < 0$ $m^2 - 16 < 0$ $m^2 < 16$ $-4 < m < 4$

Ответ: $-4 < m < 4$

---

Задача 3: Продвинутый уровень (Сложность ★★★★☆)

Докажите, что уравнение $(k+1)x^2 + 2kx + (k-1) = 0$ всегда имеет вещественные корни для всех вещественных значений $k$ (при $k \neq -1$).

Решение:

$\Delta = (2k)^2 - 4(k+1)(k-1)$ $= 4k^2 - 4(k^2 - 1)$ $= 4k^2 - 4k^2 + 4$ $= 4 > 0$

Так как $\Delta = 4 > 0$ для всех $k$, уравнение всегда имеет два различных вещественных корня. $\blacksquare$

Распространённые ошибки

❌ Ошибка 1: Неправильный знак в $b^2 - 4ac$

Неправильно: $\Delta = b^2 + 4ac$ ✗

Правильно: $\Delta = b^2 - 4ac$ ✓

❌ Ошибка 2: Забытые скобки при отрицательном $b$

Неправильно: Для $x^2 - 6x + 5 = 0$: $\Delta = -6^2 - 4(1)(5) = -36 - 20$ ✗

Правильно: $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$ ✓

❌ Ошибка 3: Путаница между $\Delta = 0$ и $\Delta < 0$

Неправильно: $\Delta = 0$ означает отсутствие корней ✗

Правильно: $\Delta = 0$ означает кратный корень; $\Delta < 0$ означает отсутствие вещественных корней ✓

Советы по изучению

1. ✅ Выучите формулу наизусть: $\Delta = b^2 - 4ac$ — это основа анализа корней.
2. ✅ Внимательно следите за знаками: Особенно при отрицательных значениях $b$ не забывайте скобки.
3. ✅ Связывайте с графиком: Всегда соотносите дискриминант с поведением пересечения параболы и оси x.
4. ✅ Тренируйтесь на задачах с параметрами: Задачи CSCA часто требуют определить диапазоны параметров для получения определённых типов корней.

---

💡 Совет по экзамену: Дискриминант — центральный инструмент алгебры CSCA. Задачи с параметрами ($k$, $m$) и условиями на корни встречаются особенно часто — тренируйтесь на различных неравенствах с $\Delta$!