韦达定理wéidá dìnglǐ

Основная концепция

Формулы Виета (韦达定理) связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней.

Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (Сумма корней)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (Произведение корней)

Вывод

Из формулы для корней квадратного уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

Сумма: $x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b + \sqrt{\Delta})(-b - \sqrt{\Delta})}{4a^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$

Важные применения

1. Вычисление выражений без решения

Вычислить выражения, содержащие корни, не находя самих корней.

Основные формулы: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

2. Составление уравнения по корням

Если $\alpha$ и $\beta$ — корни, то квадратное уравнение имеет вид: $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$

Или эквивалентно: $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$

3. Определение знаков корней

Без решения определить знаки корней:

• Оба положительны: $x_1 + x_2 > 0$ И $x_1 \cdot x_2 > 0$
• Оба отрицательны: $x_1 + x_2 < 0$ И $x_1 \cdot x_2 > 0$
• Разных знаков: $x_1 \cdot x_2 < 0$

Практические задачи CSCA

💡 Примечание: Следующие задачи разработаны на основе программы экзамена CSCA.

Пример 1: Базовый (Сложность ★★☆☆☆)

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$, найдите $x_1 + x_2$ и $x_1 \cdot x_2$.

Решение:

По формулам Виета при $a = 1$, $b = -3$, $c = -4$: $x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$ $x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{1} = -4$

Ответ: Сумма = 3, Произведение = -4

---

Пример 2: Средний уровень (Сложность ★★★☆☆)

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$, найдите $x_1^2 + x_2^2$.

Решение:

По формулам Виета: $x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}, \quad x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{2}$

Используя тождество: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ $= \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{3}{2}\right)$ $= \frac{25}{4} + 3 = \frac{25}{4} + \frac{12}{4} = \frac{37}{4}$

Ответ: $\dfrac{37}{4}$

---

Пример 3: Продвинутый (Сложность ★★★★☆)

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$, найдите $\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}$.

Решение:

По формулам Виета: $x_1 + x_2 = 4, \quad x_1 \cdot x_2 = 1$

Упростим выражение: $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$

Сначала найдём $x_1^2 + x_2^2$: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 - 2 = 14$

Следовательно: $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{14}{1} = 14$

Ответ: $14$

---

Пример 4: Продвинутый (Сложность ★★★★☆)

Найдите квадратное уравнение с целочисленными коэффициентами, корнями которого являются $2 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$.

Решение:

Сумма корней: $\alpha + \beta = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

Произведение корней: $\alpha \cdot \beta = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

Уравнение: $x^2 - 4x + 1 = 0$

Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$

---

Пример 5: Продвинутый (Сложность ★★★★★)

Если один корень уравнения $x^2 + px + q = 0$ вдвое больше другого, а сумма корней равна 6, найдите $p$ и $q$.

Решение:

Пусть корни равны $r$ и $2r$.

По формулам Виета:

• $r + 2r = 3r = -p$
• $r \cdot 2r = 2r^2 = q$

Дано сумма = 6: $3r = 6 \Rightarrow r = 2$

Следовательно: $p = -3r = -6$ $q = 2r^2 = 2(4) = 8$

Ответ: $p = -6$, $q = 8$

Обобщённые формулы Виета

Для кубического уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$:

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$ $x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a}$ $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$

Распространённые ошибки

❌ Ошибка 1: Неправильный знак суммы

Неправильно: $x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

Правильно: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ✓

❌ Ошибка 2: Предположение о действительности корней

Формулы Виета работают даже при $\Delta < 0$ (комплексные корни), но многие задачи требуют действительных корней. Всегда проверяйте $\Delta \geq 0$, если это необходимо.

❌ Ошибка 3: Неполные условия на корни

Для «оба корня положительны»: необходимо одновременно $x_1 + x_2 > 0$ и $x_1 \cdot x_2 > 0$ и $\Delta \geq 0$.

Советы по изучению

1. ✅ Запомните знак: сумма с минусом, произведение без
2. ✅ Изучите основные преобразования: $x_1^2 + x_2^2$, $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ и т. д.
3. ✅ Сочетайте с дискриминантом: для условий действительности корней
4. ✅ Практикуйте обратные задачи: составление уравнения по заданным корням

---

💡 Совет по экзамену: Формулы Виета часто встречаются на экзамене CSCA. Освойте преобразования для $x_1^2 + x_2^2$ и $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ — они присутствуют в большинстве задач!