Half-Angle Formulas

Как это проверяет настоящий экзамен

Задания из настоящих экзаменов CSCA по этому понятию. Решите их сами, прежде чем открывать ответ.

1. CSCA Math December 2025 Past Paper
   Given $\cos\alpha=-\frac{1}{2}$ and $\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$, find $\sin\frac{\alpha}{2}$.
   • A．$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • B．$\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • C．$\frac{1}{2}$
   • D．$-\frac{1}{2}$
   Показать ответ и решение

   Ответ: B

   Answer: B Since $\alpha/2\in(\pi/4,\pi/2)$, $\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Choose B.
   Открыть в полном варианте: CSCA Math December 2025 Past Paper
2. CSCA Math April 2026 Past Paper
   If $\cos \alpha = - \frac { 7 } { 25 }$ and $\frac { \pi } { 2 } < \alpha < \pi$, then $\cos \frac { \alpha } { 2 } =$
   • A．$- \frac { 4 } { 5 }$
   • B．$\frac { 4 } { 5 }$
   • C．$\frac { 3 } { 5 }$
   • D．$- \frac { 3 } { 5 }$
   Показать ответ и решение

   Ответ: C

   $\frac { \alpha } { 2 } \in \left( \frac { \pi } { 4 } , \frac { \pi } { 2 } \right)$, so $\cos \frac { \alpha } { 2 } > 0$. Half-angle: $\cos \frac { \alpha } { 2 } = \sqrt { \frac { 1 + \cos \alpha } { 2 } } = \sqrt { \frac { 18 / 25 } { 2 } } = \sqrt { \frac { 9 } { 25 } } = \frac { 3 } { 5 }$.
   Решить весь CSCA Math April 2026 Past Paper — на время и с оценкой
3. CSCA Math June 2026 Past Paper
   If $\alpha \in \left[ \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]$, and $\cos \alpha = \frac{3}{5}$, then $\sin \frac{\alpha}{2} =$
   • A．$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
   • B．$\frac{\sqrt{5}}{5}$
   • C．$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
   • D．$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
   Показать ответ и решение

   Ответ: B

   $\alpha \in \left[ \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right] \Rightarrow \frac{\alpha}{2} \in \left[ \frac{3\pi}{4}, \pi \right]$, so $\sin \frac{\alpha}{2} \geq 0$. By the half-angle formula, $\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Choose (B).
   Решить весь CSCA Math June 2026 Past Paper — на время и с оценкой