一元一次不等式yīyuán yīcì bùděngshì

핵심 개념

한 변수의 선형 부등식이란 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있는 부등식을 말합니다:

$ax + b > 0, \quad ax + b < 0, \quad ax + b \geq 0, \quad \text{or} \quad ax + b \leq 0$

여기서 $a \neq 0$, $a$, $b$는 상수이다.

표준 양식

• $ax + b > 0$ (엄밀히 더 크다)
• $ax + b < 0$ (엄밀히 작음)
• $ax + b \geq 0$ (보다 크거나 같음)
• $ax + b \leq 0$ (이하)

부등식의 성질

1. 덧셈·뺄셈의 성질

$a > b$라면, 어떤 실수 $c$에 대해서도 $a + c > b + c$가 성립한다.

양쪽에서 같은 수를 더하거나 뺀다 해도 부등식의 방향은 변하지 않습니다.

2. 곱셈·나눗셈의 성질

양의 승수: $a > b$이고 $c > 0$라면, $ac > bc$이다.

부정 승수: $a > b$이고 $c < 0$라면, $ac < bc$이다.

중요한 규칙: 음수와 곱하거나 나눌 때는 부등호 방향을 반대로 바꿔야 합니다.

3. 전이성

$a > b$와 $b > c$라면, $a > c$도 마찬가지다.

해결 방법

단계별 절차

1. 양변을 단순화하십시오 (배분하고, 같은 항을 묶으십시오).
2. 변수 항을 한쪽으로 모은다
3. 상수 항을 등식의 반대편으로 옮기세요
4. $x$의 계수로 나누기
5. 음수로 나누는 경우, 부등호 방향을 바꿔야 합니다.
6. 구간 표기법을 사용한 해의 표현

예제 해설

풀이: $3x - 7 \leq 2x + 5$

1단계: 양변에서 $2x$를 뺍니다. $3x - 2x - 7 \leq 5$ $x - 7 \leq 5$

2단계: 양변에 7을 더합니다. $x \leq 12$

해답: $(-\infty, 12]$

부호 반전이 포함된 예시

예시: 음수 계수

풀이: $-2x + 6 > 10$

1단계: 6을 뺍니다 $-2x > 4$

2단계: -2로 나눕니다 (부호를 바꾸세요!) $x < -2$

해답: $(-\infty, -2)$

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 과목에 따라 구성되었습니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★☆☆☆☆)

$2x - 5 > 7$ 문제를 풀어보세요.

옵션:

• A. $x > 6$
• B. $x < 6$
• C. $x > 1$
• D. $x < 1$

해결책: $2x - 5 > 7$ $2x > 12$ $x > 6$

정답: A

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

$\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{2} \geq 1$ 문제를 풀어보세요.

해결책:

LCD(최소공배수)인 6을 곱하면: $2(2x - 1) - 3(x + 2) \geq 6$ $4x - 2 - 3x - 6 \geq 6$ $x - 8 \geq 6$ $x \geq 14$

답: $[14, +\infty)$

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예제 3: 부등식 시스템 (난이도 ★★★☆☆)

다음 연립방정식의 해 집합을 구하시오: $\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + 4 \leq 10 \end{cases}$

해결책:

첫 번째 부등식에서: $2x > 4$이므로, $x > 2$ 두 번째 부등식에서: $x \leq 6$

통합: $2 < x \leq 6$

답: $(2, 6]$

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예제 4: 상급 (난이도 ★★★★☆)

$a$의 어떤 값에 대해 $ax - 2 > ax + 1$는 해가 없습니까?

해결책:

양변에서 $ax$를 뺍니다: $-2 > 1$

$a$와 상관없이, 이 조건은 항상 거짓입니다.

따라서, 이 부등식은 $a$의 모든 실수값에 대해 해가 없다.

정답: $a \in \mathbb{R}$ (모든 실수)

복합 부등식

"그리고" 유형 (교집합)

$a < x$ 및 $x < b$는 $a < x < b$를 의미합니다.

예시: $-3 < 2x + 1 < 7$

다음과 같이 풀이하십시오: $-3 < 2x + 1$ 및 $2x + 1 < 7$

• $-4 < 2x$ → $x > -2$
• $2x < 6$ → $x < 3$

해결책: $-2 < x < 3$ 또는 $(-2, 3)$

"또는" 유형 (합집합)

$x < a$ 또는 $x > b$

예시: $3x - 2 < 1$ 또는 $3x - 2 > 7$

다음 각 문제를 풀어보세요:

• $3x < 3$ → $x < 1$
• $3x > 9$ → $x > 3$

해결책: $x < 1$, $x > 3$ 또는 $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$

흔히 저지르는 실수

❌ 실수 1: 표지판을 뒤집는 것을 깜빡하는 것

틀림: $-3x > 6 \Rightarrow x > -2$ ✗

정답: $-3x > 6 \Rightarrow x < -2$ ✓

❌ 실수 2: 분수 연산 오류

틀림: $\dfrac{x}{2} > 3$에 2를 곱하면 $x > 1.5$가 된다 ✗

정답: $\dfrac{x}{2} > 3 \Rightarrow x > 6$ ✓

❌ 실수 3: 잘못된 음정 표기

틀림: $x > 3$는 $(3, \infty]$를 의미합니다 ✗

정정: $x > 3$는 $(3, +\infty)$를 의미합니다. ✓

공부 요령

1. ✅ 부등식의 방향 표시: 각 단계마다 확인하기
2. ✅ 음수 배수 강조 표시: 이 경우 부호를 반전시켜야 합니다.
3. ✅ 테스트 값으로 확인: 답이 원래 식을 참으로 만드는지 확인하세요
4. ✅ 수직선을 그리기: 해의 집합을 시각화하기

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💡 시험 팁: 가장 흔한 실수는 음수로 나누는 과정에서 부등호를 반전시키는 것을 잊는 것입니다. 이 단계를 항상 강조해 두세요!