区间qūjiān

핵심 개념

구간은 실수의 연속적인 부분집합을 나타냅니다. 구간 표기법은 수직선 위의 숫자 범위를 간결하게 표현하는 방법을 제공합니다.

정의

구간은 두 끝점 $a$와 $b$ 사이의 모든 실수의 집합이며, $a \leq b$입니다.

네 가지 기본 유형

유형 1: 닫힌 구간 $[a, b]$

$[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}$

양쪽 끝점 모두 포함.

예시: $[1, 5]$는 $1, 2, 3, 4, 5$와 그 사이의 모든 실수를 포함합니다.

---

유형 2: 열린 구간 $(a, b)$

$(a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}$

양쪽 끝점 모두 제외.

예시: $(1, 5)$는 $1$과 $5$ 사이의 모든 숫자를 포함하지만, $1$과 $5$ 자체는 포함하지 않습니다.

---

유형 3: 반열린 구간 $[a, b)$

$[a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}$

왼쪽 끝점 포함, 오른쪽 끝점 제외.

예시: $[1, 5)$는 $1$을 포함하지만 $5$는 포함하지 않습니다.

---

유형 4: 반열린 구간 $(a, b]$

$(a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}$

왼쪽 끝점 제외, 오른쪽 끝점 포함.

예시: $(1, 5]$는 $5$를 포함하지만 $1$은 포함하지 않습니다.

무한 구간

구간은 무한대로 확장될 수 있습니다:

표기법	설명	집합 표기
$[a, +\infty)$	모든 $x \geq a$	$\{x \in \mathbb{R} : x \geq a\}$
$(a, +\infty)$	모든 $x > a$	$\{x \in \mathbb{R} : x > a\}$
$(-\infty, b]$	모든 $x \leq b$	$\{x \in \mathbb{R} : x \leq b\}$
$(-\infty, b)$	모든 $x < b$	$\{x \in \mathbb{R} : x < b\}$
$(-\infty, +\infty)$	모든 실수	$\mathbb{R}$

중요: 무한대는 끝점이 아니므로 항상 괄호로 표기합니다.

괄호 규칙

괄호	의미	기호
$[$ 또는 $]$	끝점 포함	채워진 점
$($ 또는 $)$	끝점 제외	열린 점

구간 연산

교집합

$[1, 5] \cap [3, 7] = [3, 5]$

두 구간의 공통 원소.

합집합

$[1, 3] \cup [5, 7] = [1, 3] \cup [5, 7]$

적어도 하나의 구간에 속하는 모든 원소.

여집합

$[1, 5]^c = (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$

구간에 포함되지 않는 모든 실수.

CSCA 연습 문제

1. $-2 < x \leq 5$의 해집합을 구간 표기법으로 쓰시오.

2. 계산하시오: $[0, 4] \cap (2, 6]$

3. $\mathbb{R}$에 대한 $(1, 3)$의 여집합을 구하시오.

4. $A = [-1, 3]$이고 $B = (0, 5)$일 때, $A \cup B$와 $A \cap B$를 구하시오.

---

정답:

1. $(-2, 5]$
2. $(2, 4]$
3. $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$
4. $A \cup B = [-1, 5)$, $A \cap B = (0, 3]$

---

학습 팁: 구간 표기법은 CSCA 시험에서 함수의 정의역과 부등식 해를 이해하는 데 기초가 됩니다!