区间qūjiān

핵심 개념

구간이란 두 끝점 사이의 실수 집합을 말합니다. 구간 표기법은 실수의 연속적인 부분집합을 간결하게 나타내는 방법입니다.

네 가지 유계 구간 유형

유형	기호	세트 빌더	설명
마감됨	$[a, b]$	$\{x \mid a \leq x \leq b\}$	양쪽 끝점을 모두 포함합니다
열기	$(a, b)$	$\{x \mid a < x < b\}$	양쪽 끝점을 모두 제외합니다
반쯤 열린 상태 (왼쪽)	$(a, b]$	$\{x \mid a < x \leq b\}$	왼쪽은 제외하고, 오른쪽은 포함한다
반쯤 열린 상태 (오른쪽)	$[a, b)$	$\{x \mid a \leq x < b\}$	왼쪽은 포함하고, 오른쪽은 제외합니다

무한 구간

기호	세트 빌더	설명
$[a, +\infty)$	$\{x \mid x \geq a\}$	a 이상인 모든 수
$(a, +\infty)$	$\{x \mid x > a\}$	a보다 큰 모든 수
$(-\infty, b]$	$\{x \mid x \leq b\}$	b 이하인 모든 수
$(-\infty, b)$	$\{x \mid x < b\}$	b보다 작은 모든 수
$(-\infty, +\infty)$	$\mathbb{R}$	모든 실수

중요: ±∞는 실수가 아니므로, 무한대 기호를 표기할 때는 항상 둥근 괄호(대괄호는 절대 사용하지 않음)를 사용해야 합니다.

대진표 규정

• 대괄호 [ ]: 끝점이 포함됩니다 (≤ 또는 ≥)
• 둥근 괄호 ( ): 끝점은 포함되지 않습니다 (< 또는 >).
• Infinity: 항상 둥근 괄호를 사용합니다.

간격 연산

구간의 교차점

$[1, 5] \cap [3, 8] = [3, 5]$

중첩 영역을 살펴보겠습니다:

• 왼쪽 끝점: max(1, 3) = 3
• 오른쪽 끝점: min(5, 8) = 5

구간의 합집합

$[1, 4] \cup [3, 7] = [1, 7]$

구간이 겹치는 경우, 이를 합치십시오.

$[1, 2] \cup [4, 5]$ cannot be simplified (disjoint intervals)

구간의 합

$A = [2, 5]$ 및 $U = \mathbb{R}$의 경우: $\complement_{\mathbb{R}} A = (-\infty, 2) \cup (5, +\infty)$

참고: 닫힌 말단 → 열린 말단, 열린 말단 → 닫힌 말단.

예제 해설

예 1: 부등식을 구간으로 변환하기

주어진 값: $-3 < x \leq 7$

답변: $(-3, 7]$

예 2: 구간을 부등식으로 바꾸기

주어진 값: $[-2, 4)$

답변: $-2 \leq x < 4$

예 3: 구간 교집합

주어진: $A = [-1, 4]$, $B = (2, 6)$

찾기: $A \cap B$

해결책:

• 왼쪽 끝점: max(-1, 2) = 2, 괄호: ( (열림, B에서 시작)
• 오른쪽 끝점: min(4, 6) = 4, 대괄호: ] (닫힘, A에서 시작)

답변: $(2, 4]$

예 4: 구간 합집합

주어진 값: $A = (-\infty, 3)$, $B = [1, +\infty)$

검색: $A \cup B$

해답: 1 < 3이므로, 두 구간은 겹치며 모든 실수를 포함한다.

답변: $(-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 출제 범위를 바탕으로 작성되었습니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★☆☆☆☆)

부등식 $2 \leq x < 6$를 구간 표기법으로 나타내세요.

옵션:

• A. $(2, 6]$
• B. $[2, 6)$
• C. $(2, 6)$
• D. $[2, 6]$

해결책:

• $x \geq 2$: [를 사용하십시오
• $x < 6$: 사용 )

정답: B

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

$[-3, 2] \cap (0, 5]$를 찾아보세요.

해결책:

• 왼쪽 끝점: max(-3, 0) = 0, 괄호: ( (B에서 시작, 열린)
• 오른쪽 끝점: min(2, 5) = 2, 괄호: ] (A에서 시작, 닫힘)

답: $(0, 2]$

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예제 3: 상급 (난이도 ★★★★☆)

$A = \{x \mid x^2 - 5x + 4 \leq 0\}$인 경우, A를 구간 표기법으로 나타내십시오.

해결책:

이차식을 인수분해하세요: $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) \leq 0$

포물선은 위쪽으로 열려 있으므로, 근들 사이에서는 다음 부등식이 성립합니다: $1 \leq x \leq 4$

답: $[1, 4]$

구간의 길이

유계 구간 $[a, b]$에 대해: $\text{Length} = b - a$

예시: $[-2, 5]$의 길이는 $5 - (-2) = 7$입니다.

흔히 저지르는 실수

❌ 실수 1: 무한대와 괄호를 함께 사용하는 경우

틀림: $[2, +\infty]$ ✗

정답: $[2, +\infty)$ ✓

❌ 실수 2: 교차점 이후의 잘못된 종점

틀림: $[1, 5] \cap [3, 8] = [1, 8]$ ✗

정답: $[1, 5] \cap [3, 8] = [3, 5]$ ✓

❌ 실수 3: 보수를 나타낼 때 괄호 유형을 변경하는 것을 잊는 것

틀림: $[a, b]$의 보수는 $(-\infty, a] \cup [b, +\infty)$이다 ✗

정답: $[a, b]$의 보수는 $(-\infty, a) \cup (b, +\infty)$입니다 ✓

❌ 실수 4: 교차로에 차량이 없다고 가정하기

두 구간은 서로 전혀 겹치지 않을 때만 공집합을 가진다.

$[1, 3] \cap [3, 5] = \{3\}$ (단일 지점, 비어 있지 않음!)

공부 요령

1. ✅ 대괄호의 의미를 기억하세요: [ ]는 포함하고, ( )는 제외합니다
2. ✅ ∞는 항상 ( )가 됩니다: 무한대와 괄호를 함께 사용하지 마십시오
3. ✅ 교차 = 중첩: 공통 영역을 구한다
4. ✅ 보완 연산자는 괄호를 뒤집습니다: [ ↔ ) 및 ] ↔ (

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💡 시험 팁: 2차 부등식을 풀 때는 항상 포물선을 그려서 해의 구간을 정확히 파악하세요!