交集jiāojí

핵심 개념

두 집합 A와 B의 교집합은 A ∩ B로 표기하며, A와 B 모두에 속하는 원소들의 집합입니다.

수학적 정의

$A \cap B = \{x | x \in A \text{ 그리고 } x \in B\}$

원소가 교집합에 속하려면 두 집합 모두에 속해야 합니다.

주요 성질

1. 교환법칙

$A \cap B = B \cap A$

2. 결합법칙

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

3. 항등원

$A \cap U = A$ (U는 전체집합)

4. 공집합과의 교집합

$A \cap \emptyset = \emptyset$

예제

예제 1: 유한 집합

주어진 조건: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

구하라: A ∩ B

풀이: 공통 원소: 3, 4, 5

답: A ∩ B = {3, 4, 5}

예제 2: 구간의 교집합

주어진 조건: A = [-2, 5], B = [1, 8]

구하라: A ∩ B

풀이: 두 구간의 겹치는 부분은 [1, 5]

답: A ∩ B = [1, 5]

CSCA 연습 문제

예제 1: 기초 (난이도 ★☆☆☆☆)

A = {a, b, c, d}이고 B = {c, d, e, f}일 때, A ∩ B를 구하시오.

풀이: 공통 원소: c, d

답: {c, d}

예제 2: 심화 (난이도 ★★★★☆)

A ∩ B = A이면, 집합 A와 B 사이에 어떤 관계가 있는가?

풀이: A ∩ B = A이면, A의 모든 원소가 B에도 속해야 합니다.

답: A ⊆ B (A는 B의 부분집합)

자주 하는 실수

❌ 실수 1: 교집합과 합집합 혼동

틀림: A ∩ B는 두 집합의 모든 원소를 포함한다 ✗

맞음: A ∩ B는 공통 원소만 포함한다 ✓

학습 팁

1. ✅ "그리고" 사고: 교집합은 AND를 의미 - 원소는 두 조건 모두를 만족해야 함
2. ✅ 벤 다이어그램 그리기: 시각적 표현이 실수 방지에 도움

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💡 시험 팁: 교집합 문제는 이차 부등식과 함께 자주 출제됩니다. 항상 부등식을 먼저 풀고 교집합을 구하세요!