并集bìngjí

핵심 개념

두 집합 A와 B의 합집합은 A ∪ B로 표기하며, A 또는 B(또는 둘 다)에 속하는 모든 원소들의 집합입니다.

수학적 정의

$A \cup B = \{x | x \in A \text{ 또는 } x \in B\}$

원소가 합집합에 속하려면 적어도 하나의 집합에 속해야 합니다.

주요 성질

1. 교환법칙

$A \cup B = B \cup A$

2. 결합법칙

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

3. 항등원

$A \cup \emptyset = A$ (공집합이 항등원)

4. 멱등법칙

$A \cup A = A$

5. 전체집합과의 합집합

$A \cup U = U$ (U는 전체집합)

원소 개수 공식

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

이 공식은 공통 원소가 중복 계산되지 않도록 합니다.

예제

예제 1: 유한 집합

주어진 조건: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

구하라: A ∪ B

풀이: 두 집합의 모든 원소: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

답: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

예제 2: 구간의 합집합

주어진 조건: A = [-2, 3], B = [1, 5]

구하라: A ∪ B

풀이: 두 구간의 합집합은 [-2, 5]

답: A ∪ B = [-2, 5]

CSCA 연습 문제

예제 1: 기초 (난이도 ★☆☆☆☆)

A = {a, b, c, d}이고 B = {c, d, e, f}일 때, A ∪ B를 구하시오.

풀이: 모든 원소: a, b, c, d, e, f

답: {a, b, c, d, e, f}

예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

|A| = 5, |B| = 4, |A ∩ B| = 2일 때, |A ∪ B|를 구하시오.

풀이: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 5 + 4 - 2 = 7$

답: 7

예제 3: 심화 (난이도 ★★★★☆)

A ∪ B = A이면, 집합 A와 B 사이에 어떤 관계가 있는가?

풀이: A ∪ B = A이면, B의 모든 원소가 A에도 속해야 합니다.

답: B ⊆ A (B는 A의 부분집합)

자주 하는 실수

실수 1: 합집합과 교집합 혼동

틀림: A ∪ B는 공통 원소만 포함한다

맞음: A ∪ B는 두 집합의 모든 원소를 포함한다

실수 2: 원소 개수 중복 계산

틀림: |A ∪ B| = |A| + |B|

맞음: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

학습 팁

1. "또는" 사고: 합집합은 OR을 의미 - 원소는 적어도 하나의 집합에 속해야 함
2. 벤 다이어그램 그리기: 시각적 표현이 실수 방지에 도움
3. 원소 개수 공식 암기: 항상 교집합을 빼야 함!

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시험 팁: 원소 개수 문제에서는 항상 공식 |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|를 사용하세요!