并集bìngjí

핵심 개념

두 집합 A와 B의 합집합은 A ∪ B로 표기되며, A에 속하거나, B에 속하거나, 또는 둘 모두에 속하는 모든 원소를 포함하는 집합이다.

수학적 정의

$A \cup B = \{x | x \in A \text{ or } x \in B\}$

어떤 원소가 집합들 중 적어도 하나에 속한다면, 그 원소는 합집합에 속한다.

시각적 표현

벤 다이어그램에서 합집합은 두 원이 모두 포함하는 전체 영역을 말합니다.

    A         B
  (###[###]###)

음영 처리된 영역 전체가 A ∪ B를 나타냅니다.

주요 특성

1. 교환법칙

$A \cup B = B \cup A$

2. 결합 법칙

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

3. 동일성 속성

$A \cup \emptyset = A$

4. 항등성

$A \cup A = A$

5. 전집과의 합집합

$A \cup U = U$ (where U is the universal set)

6. 분배법칙

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

7. 드 모르간의 법칙

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

예제 해설

예 1: 유한 집합

주어진 조건: A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}

찾기: A ∪ B

해답: 두 집합의 모든 원소 (중복 없음)

답: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

예 2: 구간 합집합

주어진 조건: A = [1, 4], B = [3, 7]

찾기: A ∪ B

해답: 합산 범위는 [1, 7]입니다.

답: A ∪ B = [1, 7]

예 3: 서로 교집합이 없는 구간

주어진 조건: A = [1, 2], B = [4, 5]

찾기: A ∪ B

해답: 중복 없음, 합집합은 두 구간 모두를 포함한다.

답: A ∪ B = [1, 2] ∪ [4, 5] (더 이상 단순화할 수 없음)

예 4: 집합 생성자 표기법

주어진 조건: A = {x | x ≤ 3}, B = {x | x ≥ 1}

찾기: A ∪ B

해법: 원소들이 3 이하이거나 1 이상인 경우, 모든 실수를 포함한다.

답: A ∪ B = ℝ (모든 실수)

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 출제 범위를 바탕으로 구성되었습니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★☆☆☆☆)

A = {1, 3, 5}이고 B = {2, 3, 4}일 때, A ∪ B를 구하시오.

옵션:

• A. {3}
• B. {1, 2, 3, 4, 5}
• C. {1, 5}
• D. {2, 4}

해결책: 모든 요소(1, 2, 3, 4, 5)를 결합하세요.

정답: B

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

A = {x | -1 ≤ x < 3}이고 B = {x | 2 < x ≤ 5}일 때, A ∪ B를 구하시오.

해결책:

A = [-1, 3)이고 B = (2, 5]이다

2 < 3이므로, 두 구간은 겹칩니다: $A \cup B = [-1, 3) \cup (2, 5] = [-1, 5]$

정답: [-1, 5]

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예제 3: 상급 (난이도 ★★★★☆)

A ∪ B = A일 때, 집합 A와 B 사이의 관계는 무엇인가?

해결책:

A ∪ B = A라면, B의 모든 원소는 이미 A에 속해 있어야 한다.

이는 B ⊆ A (B가 A의 부분집합이다)를 의미합니다.

정답: B ⊆ A

교차점과의 관계

계산 공식

유한 집합의 경우: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

예시: 만약 |A| = 10, |B| = 8, |A ∩ B| = 3이라면, 다음이 성립한다: $|A \cup B| = 10 + 8 - 3 = 15$

드 모건의 법칙

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

흔히 저지르는 실수

❌ 실수 1: 원소를 두 번 세는 것

틀림: A = {1, 2, 3}이고 B = {2, 3, 4}라면, |A ∪ B| = 6 ✗

정답: |A ∪ B| = 3 + 3 - 2 = 4 ✓

❌ 실수 2: 합집합과 교집합을 혼동하는 것

틀림: A ∪ B에는 공통 원소만 포함된다 ✗

정답: A ∪ B는 두 집합의 모든 원소를 포함한다 ✓

❌ 실수 3: 서로 겹치지 않는 구간을 단순화하는 것

틀림: [1, 2] ∪ [4, 5] = [1, 5] ✗

정답: [1, 2] ∪ [4, 5]는 더 이상 단순화할 수 없다 ( (2, 4)에 간격이 있음) ✓

공부 요령

1. ✅ "OR" 사고방식: 합집합은 OR을 의미하며, 원소는 두 조건 중 하나를 만족한다
2. ✅ 계산 공식을 사용하세요: 유한 집합의 경우, 교집합을 빼는 것을 잊지 마세요.
3. ✅ 공백 여부 확인: 간격 합집합에는 공백이 있을 경우 단순화되지 않을 수 있습니다.
4. ✅ 드 모건의 법칙 숙지하기: 보집합 문제를 풀 때 필수적입니다

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💡 시험 팁: 합집합 문제는 종종 개수 계산 문제와 결합됩니다. 유한 집합의 경우 항상 |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| 공식을 사용하세요!