补集bǔjí

핵심 개념

집합 A의 여집합은 $\complement_U A$ 또는 $\overline{A}$ 또는 $A^c$로 표기하며, 전체집합 U에서 A에 속하지 않는 모든 원소들의 집합입니다.

수학적 정의

$\complement_U A = \{x | x \in U \text{ 그리고 } x \notin A\}$

여집합은 전체집합에는 속하지만 A에는 속하지 않는 원소들을 정확히 포함합니다.

표기법 변형

• $\complement_U A$ - 전체집합을 강조하는 표준 표기법
• $\overline{A}$ - 위줄 표기법
• $A^c$ 또는 $A'$ - 위첨자 표기법
• $U - A$ - 차집합 표기법

시각적 표현

벤 다이어그램에서 여집합은 집합 A의 외부이면서 전체집합 내부에 있는 영역입니다.

  U: [#############]
     [####]  A  [  ]

음영 처리된 영역 [####]이 $\complement_U A$를 나타냅니다.

주요 성질

1. 여집합의 여집합

$\complement_U(\complement_U A) = A$

2. 전체집합의 여집합

$\complement_U U = \emptyset$

3. 공집합의 여집합

$\complement_U \emptyset = U$

4. 여집합과의 합집합

$A \cup \complement_U A = U$

5. 여집합과의 교집합

$A \cap \complement_U A = \emptyset$

6. 드모르간 법칙

$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B$ $\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B$

예제

예제 1: 유한 집합

주어진 조건: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}

구하라: $\complement_U A$

풀이: U에 있지만 A에 없는 원소: 1, 3, 5

답: $\complement_U A$ = {1, 3, 5}

예제 2: 실수 집합

주어진 조건: U = ℝ, A = {x | x ≥ 2}

구하라: $\complement_U A$

풀이: ≥ 2가 아닌 실수, 즉 < 2

답: $\complement_U A$ = {x | x < 2} = (-∞, 2)

예제 3: 구간의 여집합

주어진 조건: U = ℝ, A = (-1, 3]

구하라: $\complement_U A$

풀이: (-1, 3]에 속하지 않는 모든 실수

답: $\complement_U A$ = (-∞, -1] ∪ (3, +∞)

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제들은 CSCA 시험 범위에 맞게 설계되었습니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

U = {1, 2, 3, 4, 5}이고 A = {1, 3, 5}일 때, $\complement_U A$를 구하시오.

선택지:

• A. {1, 3, 5}
• B. {2, 4}
• C. {1, 2, 3, 4, 5}
• D. ∅

풀이: U에 있지만 A에 없는 원소: 2, 4

정답: B

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

U = ℝ이고 A = {x | x² - 4 ≤ 0}일 때, $\complement_U A$를 구하시오.

풀이:

먼저 부등식을 풉니다: $x² - 4 ≤ 0$ $(x-2)(x+2) ≤ 0$ $A = [-2, 2]$

여집합은 이 구간 바깥의 모든 실수입니다: $\complement_U A = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

정답: $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

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예제 3: 심화 (난이도 ★★★★☆)

U = ℝ, A = {x | x > 1}, B = {x | x > 2}일 때, $\complement_U A \cup B$를 구하시오.

풀이:

$\complement_U A$ = {x | x ≤ 1} = (-∞, 1] B = {x | x > 2} = (2, +∞)

$\complement_U A \cup B = (-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$

정답: $(-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$

드모르간 법칙 상세 설명

법칙 1: 합집합의 여집합

$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B$

예: A = {1, 2}, B = {2, 3}, U = {1, 2, 3, 4}일 때

• A ∪ B = {1, 2, 3}
• $\complement_U(A \cup B)$ = {4}
• $\complement_U A$ = {3, 4}, $\complement_U B$ = {1, 4}
• $\complement_U A \cap \complement_U B$ = {4} ✓

법칙 2: 교집합의 여집합

$\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B$

자주 하는 실수

❌ 실수 1: 전체집합 무시

틀림: $\complement A$ = {A에 없는 모든 원소} ✗

맞음: $\complement_U A$ = {U에 있지만 A에 없는 원소} ✓

❌ 실수 2: 구간 경계 오류

틀림: A = [1, 3]이면 $\complement_\mathbb{R} A$ = (-∞, 1] ∪ [3, +∞) ✗

맞음: $\complement_\mathbb{R} A$ = (-∞, 1) ∪ (3, +∞) ✓

❌ 실수 3: 드모르간 부호 오류

틀림: $\complement(A \cup B)$ = $\complement A \cup \complement B$ ✗

맞음: $\complement(A \cup B)$ = $\complement A \cap \complement B$ ✓

학습 팁

1. ✅ 항상 U를 먼저 확인: 전체집합이 여집합을 결정함
2. ✅ 구간에서 경계 뒤집기: 여집합을 취할 때 열린 ↔ 닫힌
3. ✅ 드모르간 법칙 숙달: "줄을 끊으면 기호도 바꾼다"
4. ✅ 이중 여집합은 원래대로: $\complement(\complement A) = A$

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💡 시험 팁: 구간의 여집합을 취할 때 기억하세요: 닫힌 경계는 열린 경계가 되고, 열린 경계는 닫힌 경계가 됩니다!