绝对值不等式juéduìzhí bùděngshì

핵심 개념

절대값 부등식에는 절대값 기호가 포함됩니다. 이를 풀기 위해서는 정의에 기반한 경우별 분석이나 절대값의 기하학적 의미를 활용해야 합니다.

정의

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

기하학적 의미

$|x|$는 수직선상에서 점 $x$에서 원점까지의 거리를 나타냅니다. $|x - a|$는 점 $x$에서 점 $a$까지의 거리를 나타냅니다.

기본 유형

유형 1: $|x| < a$

$|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a \quad (a > 0)$

예시: $|x - 2| < 3$를 풀어보세요

해결책: $-3 < x - 2 < 3 \Rightarrow -1 < x < 5$

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유형 2: $|x| > a$

$|x| > a \Leftrightarrow x < -a \text{ or } x > a \quad (a > 0)$

예시: $|2x + 1| > 5$ 문제를 풀어보세요.

해결책: $2x + 1 < -5 \text{ or } 2x + 1 > 5$ $x < -3 \text{ or } x > 2$

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제3형: 거리의 합

$|x - a| + |x - b| \geq |a - b|$

$x$가 $a$와 $b$ 사이에 있을 때 등식이 성립한다.

삼각형 부등식

$|a + b| \leq |a| + |b|$

$ab \geq 0$일 때 등식이 성립한다.

흔히 있는 오해

❌ 오해 1: $|x| < a$에 대한 잘못된 해결책

틀린 표기: $|x| < 2 \Rightarrow x < -2$ 또는 $x < 2$

정답: $|x| < 2 \Rightarrow -2 < x < 2$

❌ 오해 2: 합집합 대 교집합

틀린 답변: $|x| > 2 \Rightarrow -2 < x < 2$

정답: $|x| > 2 \Rightarrow x < -2$ 또는 $x > 2$

공부 요령

1. ✅ 기본 공식 숙지: $|x| < a$ 및 $|x| > a$
2. ✅ 기하학 이해하기: 거리 개념
3. ✅ 사례 분석 연습: 제로포인트 기법
4. ✅ 삼각 부등식을 기억하세요: $|a + b| \leq |a| + |b|$

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💡 시험 팁: CSCA 시험에서는 절대값 부등식이 자주 출제됩니다!