判别式pànbiéshì

핵심 개념

2차 방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 판별식은 다음과 같이 정의된다:

$\Delta = b^2 - 4ac$

판별식은 이차방정식의 근의 성질(종류와 개수)을 결정합니다.

근원 분석

판별함수	실수 근의 개수	뿌리의 본질
$\Delta > 0$	두	두 개의 서로 다른 실수 근
$\Delta = 0$	하나	반복되는 실수 근 하나 (이중 근)
$\Delta < 0$	0	두 개의 복소 공액 근

사례 1: $\Delta > 0$ (두 개의 서로 다른 실수 근)

그 근원은 다음과 같습니다: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

사례 2: $\Delta = 0$ (반복되는 루트 1개)

근본 원인은 다음과 같습니다: $x = -\frac{b}{2a}$

이 점에서 포물선은 x축에 접합니다.

사례 3: $\Delta < 0$ (실수 근 없음)

그 원인은 복잡합니다: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$

이 포물선은 x축과 교차하지 않는다.

그래픽 해석

2차 함수 $f(x) = ax^2 + bx + c$의 경우:

• $\Delta > 0$: 포물선이 x축과 두 점에서 교차한다
• $\Delta = 0$: 포물선은 x축과 정확히 한 점(정점)에서 만난다.
• $\Delta < 0$: 포물선이 x축과 접하지 않는다

CSCA 연습문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 출제 범위를 바탕으로 작성되었습니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

$x^2 - 4x + 4 = 0$의 근의 성질을 구하시오.

해결책: $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$

$\Delta = 0$부터 중복되는 루트가 하나 있습니다.

답: 반복되는 실수 근 하나: $x = 2$

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

$k$가 어떤 값을 가질 때, $x^2 + kx + 9 = 0$는 두 개의 같은 실수 근을 가지게 되는가?

해결책:

동일한 근을 구하려면 $\Delta = 0$가 필요합니다: $\Delta = k^2 - 4(1)(9) = k^2 - 36 = 0$ $k^2 = 36$ $k = \pm 6$

답변: $k = 6$ 또는 $k = -6$

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예제 3: 상급 (난이도 ★★★★☆)

$m$의 값의 범위 중에서, $x^2 + 2x + m = 0$가 두 개의 서로 다른 음의 근을 갖는 것을 구하시오.

해결책:

$x_1, x_2$를 근이라고 하자. 다음이 성립해야 한다:

1. 두 개의 서로 다른 실수 근: $\Delta > 0$
2. 두 루트 모두 음수: $x_1 + x_2 < 0$ 및 $x_1 \cdot x_2 > 0$

비에타의 공식에 따르면:

• $x_1 + x_2 = -2 < 0$ ✓ (항상 만족)
• $x_1 \cdot x_2 = m > 0$

‘discriminant’에서 발췌: $\Delta = 4 - 4m > 0$ $1 - m > 0$ $m < 1$

결합: $0 < m < 1$

답: $m \in (0, 1)$

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예제 4: 상급 (난이도 ★★★★☆)

$ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$)의 근이 $x_1$와 $x_2$라면, $|x_1 - x_2|$를 $a$, $b$, $c$를 이용하여 표현하시오.

해결책:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

비에타의 공식에 따르면: $(x_1 - x_2)^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4 \cdot \frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2}$

따라서: $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$

답: $|x_1 - x_2| = \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$

응용 분야

1. 직선과 곡선의 교점

직선이 포물선과 몇 번 교차하는지 구하려면:

1. 직선의 방정식을 포물선의 방정식에 대입하십시오.
2. 2차 방정식 구하기
3. 판별식을 사용하여 교점의 개수를 구한다

2. 접선 조건

$\Delta = 0$일 때, 직선은 포물선에 접선을 이룬다.

예시: $y = x^2$와 $y = kx - 1$가 접선을 이루려면: $x^2 = kx - 1$ $x^2 - kx + 1 = 0$ $\Delta = k^2 - 4 = 0$ $k = \pm 2$

흔히 저지르는 실수

❌ 실수 1: 수식 내 부호 오류

틀림: $\Delta = b^2 + 4ac$ ✗

정답: $\Delta = b^2 - 4ac$ ✓

❌ 실수 2: 모든 상황을 고려하는 것을 잊는 것

특정 성질(둘 다 양수, 둘 다 음수 등)을 가진 근을 구할 때는 다음 사항을 확인해야 합니다:

• 판별 조건 ($\Delta$)
• 근의 합 조건
• 근의 곱 조건

❌ 실수 3: 근이 있는 경우와 근이 없는 경우를 혼동하는 것

틀림: $\Delta = 0$는 실수 근이 없다는 뜻이다 ✗

정답: $\Delta = 0$는 실수 근이 하나 반복된다는 뜻이며, $\Delta < 0$는 실수 근이 없다는 뜻입니다 ✓

공부 요령

1. ✅ 공식을 외우세요: $\Delta = b^2 - 4ac$
2. ✅ 그래프에 연결: x축과 교차하거나, 접하거나, 닿지 않는 포물선을 시각화합니다.
3. ✅ 비에타의 공식을 함께 활용하세요: 많은 문제에서는 판별식과 비에타의 공식을 모두 사용해야 합니다.
4. ✅ 모든 조건 확인: 제약 조건이 있는 근의 경우, $\Delta$, 합, 곱을 확인하십시오.

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💡 시험 팁: 판별식은 근의 존재 여부와 관련된 많은 CSCA 문제에서 등장합니다. 문제에서 “실수 근”이나 “실수 근 없음”이 언급되면 항상 먼저 $\Delta$를 확인하세요!