判别式pànbiéshì

핵심 개념

판별식 ($\Delta$로 표기)은 이차방정식의 계수로부터 계산되는 핵심 값으로, 근의 성질과 개수를 결정합니다.

정의

표준형 이차방정식:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

에서 판별식은 다음과 같이 정의됩니다:

$\Delta = b^2 - 4ac$

이 식은 근의 공식에서 제곱근 기호 아래에 나타납니다:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

세 가지 경우

경우 1: $\Delta > 0$ — 서로 다른 두 실수 근

방정식이 두 개의 서로 다른 실수 해를 가집니다:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

예시: $x^2 - 5x + 6 = 0$

$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0$

$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$

경우 2: $\Delta = 0$ — 중복근 (겹근)

방정식이 정확히 하나의 실수 해 (중복근)를 가집니다:

$x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$

예시: $x^2 - 6x + 9 = 0$

$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$

$x = \frac{6}{2} = 3$

경우 3: $\Delta < 0$ — 실수 근 없음

방정식이 실수 해를 가지지 않습니다 (두 개의 복소 공액근).

예시: $x^2 + 2x + 5 = 0$

$\Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0$

실수 근이 없습니다.

그래프 해석

판별식은 포물선 $y = ax^2 + bx + c$가 x축과 어떻게 만나는지를 결정합니다:

판별식	포물선과 x축	교점의 수
$\Delta > 0$	x축과 두 점에서 만남	2
$\Delta = 0$	x축과 한 점에서 접함 (꼭짓점)	1
$\Delta < 0$	x축과 만나지 않음	0

$a > 0$ (위로 열린 포물선)이고 $\Delta < 0$이면, 포물선 전체가 x축 위에 위치합니다. 즉, 모든 실수 $x$에 대해 $ax^2 + bx + c > 0$입니다.

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 커리큘럼과 중국 표준 시험 형식을 기반으로 설계되어 학생들이 문제 유형과 해결 접근법에 익숙해지도록 돕습니다.

문제 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

다음 방정식의 판별식과 근의 성질을 구하시오: $2x^2 + 3x - 2 = 0$

풀이:

$\Delta = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 > 0$

$\Delta > 0$이므로 방정식은 서로 다른 두 실수 근을 가집니다.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -2$

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문제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

방정식 $x^2 + mx + 4 = 0$이 실수 근을 갖지 않는 $m$의 범위를 구하시오.

풀이:

실수 근이 없다는 것은 $\Delta < 0$을 의미합니다:

$\Delta = m^2 - 4(1)(4) < 0$ $m^2 - 16 < 0$ $m^2 < 16$ $-4 < m < 4$

정답: $-4 < m < 4$

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문제 3: 고급 (난이도 ★★★★☆)

방정식 $(k+1)x^2 + 2kx + (k-1) = 0$이 모든 실수 $k$ ($k \neq -1$)에 대해 항상 실수 근을 가짐을 증명하시오.

풀이:

$\Delta = (2k)^2 - 4(k+1)(k-1)$ $= 4k^2 - 4(k^2 - 1)$ $= 4k^2 - 4k^2 + 4$ $= 4 > 0$

$\Delta = 4 > 0$이 모든 $k$에 대해 성립하므로, 방정식은 항상 서로 다른 두 실수 근을 가집니다. $\blacksquare$

흔한 실수

❌ 실수 1: $b^2 - 4ac$에서 부호 오류

잘못됨: $\Delta = b^2 + 4ac$ ✗

정답: $\Delta = b^2 - 4ac$ ✓

❌ 실수 2: 음수 $b$에서 괄호 누락

잘못됨: $x^2 - 6x + 5 = 0$의 경우: $\Delta = -6^2 - 4(1)(5) = -36 - 20$ ✗

정답: $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$ ✓

❌ 실수 3: $\Delta = 0$과 $\Delta < 0$ 혼동

잘못됨: $\Delta = 0$은 근이 없음을 의미 ✗

정답: $\Delta = 0$은 중복근; $\Delta < 0$은 실수 근 없음 ✓

학습 팁

1. ✅ 공식 암기: $\Delta = b^2 - 4ac$ — 이것이 근의 분석의 기초입니다.
2. ✅ 부호를 주의 깊게 확인: 특히 $b$가 음수일 때 괄호를 잊지 마세요.
3. ✅ 그래프와 연결: 판별식을 항상 포물선의 x축 교점 관계와 연관 지으세요.
4. ✅ 매개변수 문제 연습: CSCA 문제는 종종 특정 근의 유형을 만족하는 매개변수 범위를 구하도록 요구합니다.

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💡 시험 팁: 판별식은 CSCA 대수학의 핵심 도구입니다. 매개변수 ($k$, $m$)와 근의 조건에 관한 문제가 특히 자주 출제됩니다 — $\Delta$를 포함한 다양한 부등식 문제를 연습하세요!