韦达定理wéidá dìnglǐ

핵심 개념

비에타 공식 (韦达定理)은 다항식의 계수와 그 근의 합 및 곱 사이의 관계를 나타냅니다.

이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 두 근을 $x_1$과 $x_2$라 하면:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (근의 합)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (근의 곱)

유도 과정

근의 공식으로부터: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

합: $x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$

곱: $x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b + \sqrt{\Delta})(-b - \sqrt{\Delta})}{4a^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$

주요 응용

1. 풀지 않고 식 계산하기

실제 근을 구하지 않고 근에 관한 식을 계산합니다.

주요 공식: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

2. 근으로부터 방정식 구성

$\alpha$와 $\beta$가 근이면, 이차방정식은: $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$

또는 동치로: $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$

3. 근의 부호 판별

풀지 않고 근의 부호를 판별:

• 두 근 모두 양수: $x_1 + x_2 > 0$ 그리고 $x_1 \cdot x_2 > 0$
• 두 근 모두 음수: $x_1 + x_2 < 0$ 그리고 $x_1 \cdot x_2 > 0$
• 부호가 반대: $x_1 \cdot x_2 < 0$

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 커리큘럼을 기반으로 설계되었습니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

$x_1$과 $x_2$가 $x^2 - 3x - 4 = 0$의 근일 때, $x_1 + x_2$와 $x_1 \cdot x_2$를 구하시오.

풀이:

비에타 공식에 의해 $a = 1$, $b = -3$, $c = -4$: $x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$ $x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{1} = -4$

정답: 합 = 3, 곱 = -4

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

$x_1$과 $x_2$가 $2x^2 + 5x - 3 = 0$의 근일 때, $x_1^2 + x_2^2$를 구하시오.

풀이:

비에타 공식에 의해: $x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}, \quad x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{2}$

항등식을 이용하면: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ $= \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{3}{2}\right)$ $= \frac{25}{4} + 3 = \frac{25}{4} + \frac{12}{4} = \frac{37}{4}$

정답: $\dfrac{37}{4}$

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예제 3: 고급 (난이도 ★★★★☆)

$x_1$과 $x_2$가 $x^2 - 4x + 1 = 0$의 근일 때, $\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}$를 구하시오.

풀이:

비에타 공식에 의해: $x_1 + x_2 = 4, \quad x_1 \cdot x_2 = 1$

식을 정리하면: $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$

먼저 $x_1^2 + x_2^2$를 구하면: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 - 2 = 14$

따라서: $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{14}{1} = 14$

정답: $14$

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예제 4: 고급 (난이도 ★★★★☆)

$2 + \sqrt{3}$과 $2 - \sqrt{3}$을 근으로 하는 정수 계수 이차방정식을 구하시오.

풀이:

근의 합: $\alpha + \beta = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

근의 곱: $\alpha \cdot \beta = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

방정식은: $x^2 - 4x + 1 = 0$

정답: $x^2 - 4x + 1 = 0$

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예제 5: 고급 (난이도 ★★★★★)

$x^2 + px + q = 0$의 한 근이 다른 근의 2배이고, 두 근의 합이 6일 때, $p$와 $q$를 구하시오.

풀이:

두 근을 $r$과 $2r$이라 하자.

비에타 공식에 의해:

• $r + 2r = 3r = -p$
• $r \cdot 2r = 2r^2 = q$

합 = 6이므로: $3r = 6 \Rightarrow r = 2$

따라서: $p = -3r = -6$ $q = 2r^2 = 2(4) = 8$

정답: $p = -6$, $q = 8$

비에타 공식의 확장

삼차방정식 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$의 세 근을 $x_1, x_2, x_3$이라 하면:

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$ $x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a}$ $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$

흔한 실수

❌ 실수 1: 합의 부호 오류

잘못됨: $x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

정확: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ✓

❌ 실수 2: 근이 실수라고 가정

비에타 공식은 $\Delta < 0$ (복소근)일 때도 성립하지만, 많은 응용에서는 실근이 필요합니다. 필요한 경우 항상 $\Delta \geq 0$을 확인하세요.

❌ 실수 3: 불완전한 근의 조건

"두 근 모두 양수"의 조건: $x_1 + x_2 > 0$ 그리고 $x_1 \cdot x_2 > 0$ 그리고 $\Delta \geq 0$을 모두 만족해야 합니다.

학습 팁

1. ✅ 부호 기억하기: 합에는 음의 부호, 곱에는 없음
2. ✅ 주요 변환 익히기: $x_1^2 + x_2^2$, $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ 등
3. ✅ 판별식과 결합: 실근 조건 처리
4. ✅ 역방향 문제 연습: 주어진 근으로부터 방정식 구하기

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💡 시험 팁: 비에타 공식은 CSCA에서 자주 출제됩니다. $x_1^2 + x_2^2$와 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$의 변환을 완벽히 숙달하세요 — 대부분의 문제에서 등장합니다!