数学期望shùxué qīwàng

Konsep Inti

Nilai harapan (atau ekspektasi matematis) dari variabel acak adalah rata-rata tertimbang dari semua nilai yang mungkin, dengan bobot berupa probabilitasnya.

Variabel Acak Diskret

Untuk variabel acak diskret $X$ yang mengambil nilai $x_1, x_2, \ldots, x_n$ dengan probabilitas $p_1, p_2, \ldots, p_n$:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$

Notasi

• $E(X)$ - Nilai harapan dari $X$
• $\mu$ (mu) - Sering digunakan untuk menunjukkan nilai harapan
• $\overline{X}$ - Rata-rata sampel (estimasi dari $E(X)$)

Interpretasi

Nilai harapan merepresentasikan:

• Rata-rata jangka panjang dari banyak percobaan independen
• Pusat massa dari distribusi probabilitas
• Nilai wajar dalam konteks perjudian/keuangan

Penting: Nilai harapan mungkin bukan hasil yang benar-benar mungkin terjadi.

Sifat-sifat Nilai Harapan

1. Linearitas

$E(aX + b) = aE(X) + b$

di mana $a$ dan $b$ adalah konstanta.

2. Jumlah Variabel Acak

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Ini berlaku bahkan jika $X$ dan $Y$ TIDAK independen.

3. Perkalian Variabel Independen

Jika $X$ dan $Y$ independen: $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

4. Nilai Harapan Konstanta

$E(c) = c$

Distribusi Umum

Distribusi	Nilai Harapan
Bernoulli($p$)	$p$
Binomial($n, p$)	$np$
Seragam($\{1,2,...,n\}$)	$\dfrac{n+1}{2}$
Geometrik($p$)	$\dfrac{1}{p}$

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini dirancang berdasarkan silabus ujian CSCA.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Variabel acak $X$ memiliki distribusi berikut:

$X$	1	2	3
$P$	0,2	0,5	0,3

Hitunglah $E(X)$.

Solusi: $E(X) = 1 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}5 + 3 \times 0{,}3$ $= 0{,}2 + 1{,}0 + 0{,}9 = 2{,}1$

Jawaban: $E(X) = 2{,}1$

---

Contoh 2: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Jika $E(X) = 3$, hitunglah $E(2X + 5)$.

Solusi:

Menggunakan sifat linearitas: $E(2X + 5) = 2E(X) + 5 = 2(3) + 5 = 11$

Jawaban: $11$

---

Contoh 3: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Sebuah koin yang adil dilempar 100 kali. Misalkan $X$ adalah jumlah sisi kepala yang muncul. Hitunglah $E(X)$.

Solusi:

$X$ mengikuti distribusi binomial dengan $n = 100$, $p = 0{,}5$.

$E(X) = np = 100 \times 0{,}5 = 50$

Jawaban: $E(X) = 50$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Mengacaukan E(X) dengan Nilai Paling Mungkin

Salah: $E(X)$ adalah nilai yang paling sering muncul ✗

Benar: $E(X)$ adalah rata-rata tertimbang; modus adalah nilai yang paling sering muncul ✓

❌ Kesalahan 2: Lupa bahwa Jumlah Probabilitas Harus Sama dengan 1

Sebelum menghitung, verifikasi: $\sum p_i = 1$

❌ Kesalahan 3: Penerapan Linearitas yang Salah

Salah: $E(X^2) = (E(X))^2$ ✗

Benar: Secara umum $E(X^2) \neq (E(X))^2$. Selisihnya adalah variansi! ✓

Hubungan dengan Variansi

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Atau secara ekuivalen: $E(X^2) = \text{Var}(X) + (E(X))^2$

Kiat-kiat Belajar

1. ✅ Ingat rumusnya: $E(X) = \sum x_i p_i$
2. ✅ Kuasai linearitas: $E(aX+b) = aE(X)+b$
3. ✅ Ketahui distribusi umum: Nilai harapan distribusi binomial adalah $np$
4. ✅ Jangan bingung dengan variansi: $E(X^2) \neq (E(X))^2$

---

💡 Tip Ujian: Ketika diberikan tabel distribusi probabilitas, pertama-tama verifikasi bahwa jumlah probabilitas sama dengan 1, lalu terapkan definisi secara langsung!