方差fāngchā

Konsep Inti

Varians dari suatu variabel acak mengukur sebaran atau penyebaran nilainya di sekitar nilai yang diharapkan (rata-rata).

Definisi

Untuk suatu variabel acak $X$ dengan nilai harapan $\mu = E(X)$:

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = E(X^2) - (E(X))^2$

Notasi

• $\text{Var}(X)$ atau $V(X)$ - Varian dari $X$
• $\sigma^2$ (sigma kuadrat) - Simbol umum untuk varians
• $D(X)$ - Notasi alternatif (digunakan dalam buku pelajaran bahasa Mandarin)

Dua Rumus

Formula 1: Definisi

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$

Rumus 2: Komputasional (lebih praktis)

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Alat bantu ingatan: "Rata-rata kuadrat dikurangi kuadrat rata-rata"

Sifat-sifat Varian

1. Non-negativitas

$\text{Var}(X) \geq 0$

Kesetaraan hanya berlaku jika $X$ konstan.

2. Faktor Konstan

$\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Catatan: Faktor tersebut dipangkat dua.

3. Menambahkan Bilangan Tetap

$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$

Menambahkan konstanta tidak mengubah rentang.

4. Transformasi Linear Gabungan

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

5. Jumlah Variabel Bebas

Jika $X$ dan $Y$ bersifat independen: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Peringatan: Hal ini TIDAK berlaku untuk variabel terikat!

6. Varians dari Sebuah Konstanta

$\text{Var}(c) = 0$

Distribusi Umum

Distribusi	Varians
Bernoulli ($p$)	$p(1-p)$
Binomial ($n, p$)	$np(1-p)$
Seragam ($\{1,...,n\}$)	$\dfrac{n^2-1}{12}$

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini disusun berdasarkan silabus ujian CSCA.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Sebuah variabel acak $X$ memiliki distribusi sebagai berikut:

$X$	0	1	2
$P$	0,3	0,5	0,2

Cari $\text{Var}(X)$.

Solusi:

Pertama, cari $E(X)$: $E(X) = 0(0.3) + 1(0.5) + 2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.4 = 0.9$

Temukan $E(X^2)$: $E(X^2) = 0^2(0.3) + 1^2(0.5) + 2^2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.8 = 1.3$

Terapkan rumus: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1.3 - 0.81 = 0.49$

Jawaban: $\text{Var}(X) = 0.49$

---

Contoh 2: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Jika $\text{Var}(X) = 4$, cari $\text{Var}(3X + 2)$.

Solusi:

Menggunakan properti $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$: $\text{Var}(3X + 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36$

Jawaban: $36$

---

Contoh 3: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Sebuah koin yang adil dilempar sebanyak 100 kali. Misalkan $X$ adalah jumlah munculnya sisi kepala. Tentukan nilai $\text{Var}(X)$.

Solusi:

$X$ merupakan kelanjutan dari Binomial ($n=100$, $p=0.5$).

$\text{Var}(X) = np(1-p) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25$

Jawaban: $\text{Var}(X) = 25$

---

Contoh 4: Tingkat Lanjut (Tingkat Kesulitan ★★★★☆)

Jika $E(X) = 2$ dan $E(X^2) = 8$, temukan $\text{Var}(2X - 3)$.

Solusi:

Pertama, cari $\text{Var}(X)$: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 8 - 4 = 4$

Kemudian: $\text{Var}(2X - 3) = 2^2 \cdot \text{Var}(X) = 4 \times 4 = 16$

Jawaban: $16$

---

Contoh 5: Tingkat Lanjut (Tingkat Kesulitan ★★★★★)

Jika $X$ dan $Y$ saling independen dengan $\text{Var}(X) = 2$ dan $\text{Var}(Y) = 3$, tentukan nilai $\text{Var}(2X - 3Y + 1)$.

Solusi:

Menggunakan properti: $\text{Var}(2X - 3Y + 1) = \text{Var}(2X - 3Y)$ $= \text{Var}(2X) + \text{Var}(-3Y)$ (independence) $= 4\text{Var}(X) + 9\text{Var}(Y)$ $= 4(2) + 9(3) = 8 + 27 = 35$

Jawaban: $35$

Simpangan Baku

Simpangan baku adalah akar kuadrat dari varians: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

Simpangan baku memiliki satuan yang sama dengan $X$, sehingga lebih mudah diinterpretasikan.

Varians vs. Nilai Harapan

Properti	Nilai yang Diharapkan $E(X)$	Varians $\text{Var}(X)$
Langkah-langkah	Pusat (lokasi)	Penyebaran (dispersi)
Transformasi linier	$E(aX+b) = aE(X)+b$	$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$
Jumlah	Selalu bersifat aditif	Hanya ditambahkan jika independen

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Lupa mengkuadratkan koefisien

Salah: $\text{Var}(3X) = 3 \cdot \text{Var}(X)$ ✗

Benar: $\text{Var}(3X) = 9 \cdot \text{Var}(X)$ ✓

❌ Kesalahan 2: Menambahkan Variansi Variabel Tergantung

Salah: Jika $X$ dan $Y$ saling bergantung, maka $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ ✗

Benar: Hal ini hanya berlaku untuk variabel independen ✓

❌ Kesalahan 3: Mengacaukan Varians dengan Simpangan Baku

Salah: Simpangan baku dari Binomial($n,p$) adalah $np(1-p)$ ✗

Benar: Varians adalah $np(1-p)$; simpangan baku adalah $\sqrt{np(1-p)}$ ✓

Tips Belajar

1. ✅ Gunakan rumus perhitungan: $E(X^2) - (E(X))^2$ biasanya lebih mudah
2. ✅ Ingat, koefisiennya dipangkatkan dua: $\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X)$
3. ✅ Periksa kemandirian: Varians dari penjumlahan hanya berlaku untuk variabel-variabel yang saling independen
4. ✅ Pahami varians binomial: $np(1-p)$ sering muncul dalam soal ujian

---

💡 Tips Ujian: Saat menghitung varians, selalu hitung $E(X)$ dan $E(X^2)$ secara terpisah terlebih dahulu. Rumus perhitungannya lebih kecil kemungkinannya menimbulkan kesalahan dibandingkan dengan definisinya!