方差fāngchā

Konsep Inti

Variansi dari variabel acak mengukur sebaran nilai-nilainya di sekitar nilai harapan (rata-rata).

Definisi

Untuk variabel acak $X$ dengan nilai harapan $\mu = E(X)$:

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = E(X^2) - (E(X))^2$

Notasi

• $\text{Var}(X)$ atau $V(X)$ - Variansi dari $X$
• $\sigma^2$ (sigma kuadrat) - Simbol umum untuk variansi
• $D(X)$ - Notasi alternatif (digunakan dalam buku teks Tiongkok)

Dua Rumus

Rumus 1: Definisi

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$

Rumus 2: Rumus Perhitungan (lebih praktis)

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Cara mengingat: "Rata-rata kuadrat dikurangi kuadrat rata-rata"

Sifat-sifat Variansi

1. Non-negatif

$\text{Var}(X) \geq 0$

Kesamaan berlaku hanya jika $X$ konstan.

2. Faktor Konstan

$\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Catatan: Faktornya dikuadratkan.

3. Menambahkan Konstanta

$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$

Menambahkan konstanta tidak mengubah sebaran.

4. Transformasi Linear Gabungan

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

5. Jumlah Variabel Independen

Jika $X$ dan $Y$ independen: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Peringatan: Ini TIDAK berlaku untuk variabel dependen!

6. Variansi Konstanta

$\text{Var}(c) = 0$

Distribusi Umum

Distribusi	Variansi
Bernoulli($p$)	$p(1-p)$
Binomial($n, p$)	$np(1-p)$
Seragam Diskret($\{1,...,n\}$)	$\dfrac{n^2-1}{12}$

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut dirancang berdasarkan silabus ujian CSCA.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Variabel acak $X$ memiliki distribusi:

$X$	0	1	2
$P$	0,3	0,5	0,2

Hitung $\text{Var}(X)$.

Solusi:

Pertama, hitung $E(X)$: $E(X) = 0(0{,}3) + 1(0{,}5) + 2(0{,}2) = 0 + 0{,}5 + 0{,}4 = 0{,}9$

Hitung $E(X^2)$: $E(X^2) = 0^2(0{,}3) + 1^2(0{,}5) + 2^2(0{,}2) = 0 + 0{,}5 + 0{,}8 = 1{,}3$

Terapkan rumus: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1{,}3 - 0{,}81 = 0{,}49$

Jawaban: $\text{Var}(X) = 0{,}49$

---

Contoh 2: Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Jika $\text{Var}(X) = 4$, hitung $\text{Var}(3X + 2)$.

Solusi:

Menggunakan sifat $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$: $\text{Var}(3X + 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36$

Jawaban: $36$

---

Contoh 3: Lanjutan (Tingkat Kesulitan ★★★★☆)

Jika $E(X) = 2$ dan $E(X^2) = 8$, hitung $\text{Var}(2X - 3)$.

Solusi:

Pertama, hitung $\text{Var}(X)$: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 8 - 4 = 4$

Kemudian: $\text{Var}(2X - 3) = 2^2 \cdot \text{Var}(X) = 4 \times 4 = 16$

Jawaban: $16$

Simpangan Baku

Simpangan baku adalah akar kuadrat dari variansi: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

Simpangan baku memiliki satuan yang sama dengan $X$, sehingga lebih mudah diinterpretasikan.

Variansi vs. Nilai Harapan

Sifat	Nilai Harapan $E(X)$	Variansi $\text{Var}(X)$
Mengukur	Pusat (lokasi)	Sebaran (dispersi)
Transformasi linear	$E(aX+b) = aE(X)+b$	$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$
Jumlah	Selalu aditif	Aditif hanya jika independen

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Lupa mengkuadratkan koefisien

Salah: $\text{Var}(3X) = 3 \cdot \text{Var}(X)$ ✗

Benar: $\text{Var}(3X) = 9 \cdot \text{Var}(X)$ ✓

❌ Kesalahan 2: Menjumlahkan variansi variabel dependen

Salah: Jika $X$ dan $Y$ dependen, $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ ✗

Benar: Ini hanya berlaku untuk variabel independen ✓

❌ Kesalahan 3: Mencampurkan variansi dengan simpangan baku

Salah: Simpangan baku distribusi Binomial($n,p$) adalah $np(1-p)$ ✗

Benar: Variansi adalah $np(1-p)$; simpangan baku adalah $\sqrt{np(1-p)}$ ✓

Tips Belajar

1. ✅ Gunakan rumus perhitungan: $E(X^2) - (E(X))^2$ biasanya lebih mudah
2. ✅ Ingat koefisien dikuadratkan: $\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X)$
3. ✅ Periksa independensi: Variansi jumlah hanya aditif untuk variabel independen
4. ✅ Hafal variansi binomial: $np(1-p)$ sering diujikan

---

💡 Tips Ujian: Saat menghitung variansi, selalu hitung $E(X)$ dan $E(X^2)$ secara terpisah terlebih dahulu. Rumus perhitungan lebih kecil kemungkinan kesalahannya dibanding definisi!