概率gàilǜ

Konsep Inti

Probabilitas adalah ukuran numerik dari kemungkinan terjadinya peristiwa acak, yang menggambarkan seberapa besar kemungkinan suatu hasil dalam percobaan acak.

Definisi Matematis

Untuk kejadian acak $A$, probabilitasnya $P(A)$ adalah bilangan real antara 0 dan 1:

$0 \leq P(A) \leq 1$

dimana:

• $P(A) = 0$: kejadian yang tidak mungkin
• $P(A) = 1$: kejadian tertentu
• $0 < P(A) < 1$: kejadian acak

Probabilitas Klasik

Ketika percobaan acak memuaskan:

1. Jumlah hasil yang mungkin terbatas
2. Semua hasil memiliki kemungkinan yang sama

Maka probabilitas kejadian $A$ adalah:

$P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of outcomes}} = \frac{m}{n}$

Sifat-sifat Dasar Probabilitas

Sifat 1: Kejadian yang saling melengkapi

Jika kejadian $A$ dan $\overline{A}$ saling melengkapi:

$P(A) + P(\overline{A}) = 1$ $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

Properti 2: Aturan Penjumlahan

Untuk setiap dua kejadian $A$ dan $B$:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Kasus khusus: Ketika $A$ dan $B$ saling terpisah ($A \cap B = \emptyset$):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Properti 3: Probabilitas Bersyarat

Probabilitas kejadian $A$ jika kejadian $B$ telah terjadi:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)$

Properti 4: Kejadian Independen

Jika kejadian $A$ dan $B$ bersifat independen:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Metode Perhitungan Umum

Metode 1: Pencacahan

**Gunakan **: Ketika jumlah hasil kecil

Contoh: Melempar dua dadu, temukan jumlah probabilitas yang sama dengan 7?

Analisis:

• Hasil total: $6 \times 6 = 36$
• Jumlah = 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 kasus

$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Metode 2: Kombinatorika

Gunakan: Ketika jumlah hasil besar

Contoh: Mengambil 5 kartu dari tumpukan 52 kartu, probabilitas 3 kartu As tepat?

Analisis:

• Total cara: $C_{52}^5$
• Cara untuk mendapatkan 3 kartu As: $C_4^3 \times C_{48}^2$

$P = \frac{C_4^3 \times C_{48}^2}{C_{52}^5} = \frac{4 \times 1128}{2598960} \approx 0.00174$

Aplikasi Dunia Nyata

Aplikasi 1: Masalah Lotere

Masalah: Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Tariklah 2 bola, cari probabilitas 1 bola merah dan 1 bola putih.

Analisis:

• Total cara: $C_8^2 = 28$
• 1 merah, 1 putih: $C_5^1 \times C_3^1 = 15$

$P = \frac{15}{28}$

Aplikasi 2: Kontrol Kualitas

** Masalah**: Produk memiliki tingkat kelulusan 95%. Temukan probabilitas cacat saat memilih 1 item secara acak.

Analisis: Biarkan $A$ = kejadian lulus, maka $\overline{A}$ = kejadian cacat

$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.95 = 0.05$

Aplikasi 3: Prakiraan Cuaca

** Masalah**: Kemungkinan hujan besok adalah 70%. Jika hujan, probabilitas kemacetan lalu lintas adalah 80%; jika tidak ada hujan, 30%. Temukan probabilitas kemacetan.

Analisis: Misalkan $R$ = hujan, $T$ = kemacetan lalu lintas

$P(T) = P(R) \cdot P(T|R) + P(\overline{R}) \cdot P(T|\overline{R})$ $= 0.7 \times 0.8 + 0.3 \times 0.3 = 0.56 + 0.09 = 0.65$

Jawaban: 65% kemungkinan kemacetan lalu lintas

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini dirancang berdasarkan silabus ujian CSCA dan format ujian standar bahasa Mandarin untuk membantu siswa membiasakan diri dengan jenis-jenis pertanyaan dan pendekatan pemecahan masalah.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Pilihlah satu bilangan bulat secara acak dari 1 sampai 10. Berapa probabilitas memilih bilangan genap?

Pilihan:

• A. $\frac{1}{10}$
• B. $\frac{1}{5}$
• C. $\frac{2}{5}$
• D. $\frac{1}{2}$

Solusi:

Hasil total: 10

Angka genap: 2, 4, 6, 8, 10 → 5 angka

$P = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Jawaban: D

---

Contoh 2: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Kantong berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Ambil 2 bola secara acak. Temukan probabilitas setidaknya 1 bola merah.

Solusi:

Metode 1: Pendekatan langsung Setidaknya 1 merah = tepat 1 merah + tepat 2 merah

$P = \frac{C_5^1 \times C_3^1 + C_5^2}{C_8^2} = \frac{15 + 10}{28} = \frac{25}{28}$

Metode 2: Komplemen (lebih sederhana!) Komplemen dari "setidaknya 1 merah" = "0 merah" (yaitu, 2 putih)

$P = 1 - \frac{C_3^2}{C_8^2} = 1 - \frac{3}{28} = \frac{25}{28}$

Jawaban: $\frac{25}{28}$

---

Contoh 3: Tingkat Lanjut (Kesulitan ★★★★☆)

Dua orang secara mandiri menyelesaikan masalah yang sama. Orang A menyelesaikan dengan probabilitas 0,7, Orang B dengan 0,8. Temukan:

1. Probabilitas keduanya menyelesaikannya
2. Probabilitas tepat satu yang menyelesaikannya
3. Probabilitas setidaknya satu yang menyelesaikannya

Solusi:

Biarkan $A$ = "A menyelesaikan", $B$ = "B menyelesaikan"

Diberikan: $P(A) = 0.7$, $P(B) = 0.8$

(1) Keduanya menyelesaikan: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.7 \times 0.8 = 0.56$

(2) Tepat satu penyelesaian: $P = P(A) \cdot P(\overline{B}) + P(\overline{A}) \cdot P(B)$ $= 0.7 \times 0.2 + 0.3 \times 0.8 = 0.14 + 0.24 = 0.38$

(3) Setidaknya satu penyelesaian: Gunakan komplemen $P = 1 - P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 1 - 0.3 \times 0.2 = 0.94$

Jawaban: (1) 0.56 (2) 0.38 (3) 0.94

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Probabilitas > 1

Koreksi: Kisaran probabilitas adalah $[0, 1]$. Jika hasilnya melebihi ini, perhitungannya salah.

❌ Kesalahan 2: Menggunakan metode langsung untuk soal "paling sedikit"

Salah: Menghitung semua kasus (mudah melewatkan beberapa kasus)

Benar: Gunakan metode komplemen: "setidaknya satu" = 1 - "tidak ada"

❌ Kesalahan 3: Mengacaukan independensi dengan eksklusivitas bersama

Saling eksklusif: Tidak dapat terjadi bersamaan ($A \cap B = \emptyset$), $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$)

Tidak bergantung: Yang satu tidak mempengaruhi yang lain ($P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$)

Benar-benar berbeda!

❌ Kesalahan 4: Melupakan kondisi dalam probabilitas bersyarat

Koreksi: $P(A|B) \neq P(A)$ (kecuali $A$ dan $B$ tidak bergantung)

Kiat-kiat Belajar

1. kuasai konsep-konsep dasar**: Ruang sampel, kejadian dasar, kejadian acak
2. ✅ Menghafal rumus: Komplemen, aturan penjumlahan, probabilitas bersyarat
3. ✅ Memilih metode yang tepat: Pencacahan untuk yang sederhana, kombinatorik untuk yang kompleks
4. ✅ Gunakan komplemen dengan bijak: masalah "setidaknya" lebih mudah dengan komplemen
5. ✅ Bedakan independensi vs eksklusivitas: Definisi dan formula yang berbeda

---

💡 Tip Ujian: Probabilitas adalah inti dari materi statistik CSCA, mencakup sekitar 40% dari soal-soal statistik. Metode komplemen dan kejadian independen sering diuji!