条件概率tiáojiàn gàilǜ

Konsep Inti

Probabilitas Bersyarat adalah probabilitas kejadian $A$ terjadi jika kejadian $B$ telah terjadi, dilambangkan dengan $P(A|B)$.

Definisi

Misalkan $A, B$ adalah dua kejadian dengan $P(B) > 0$. Probabilitas bersyarat dari $A$ yang diberikan $B$ adalah:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Pemahaman:

• Pembilang $P(A \cap B)$: Probabilitas dari $A$ dan $B$
• Penyebut $P(B)$: Probabilitas dari $B$
• Arti: Probabilitas $A$ dalam "ruang sampel baru" di mana $B$ terjadi

Properti

1. Non-negativitas

$0 \leq P(A|B) \leq 1$

2. Peristiwa tertentu

$P(\Omega|B) = 1$

3. Aturan Penjumlahan

Jika $A_1, A_2$ saling lepas: $P(A_1 \cup A_2|B) = P(A_1|B) + P(A_2|B)$

4. Aturan Perkalian

Dari definisi tersebut, kita mendapatkan aturan perkalian:

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

Kemerdekaan

Peristiwa Independen

Jika kejadian $A$ dan $B$ adalah independen: $P(A|B) = P(A)$ $P(B|A) = P(B)$ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Arti: Kemunculan $B$ tidak mempengaruhi probabilitas dari $A$.

Saling Eksklusif vs Independen

• Saling eksklusif: $A \cap B = \emptyset$, tidak dapat terjadi bersamaan
• Independen: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, kemunculannya independen

Catatan: Kejadian yang saling terpisah umumnya tidak independen (kecuali jika salah satunya memiliki probabilitas 0)

Soal-soal Latihan CSCA

[Contoh 1] Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 2 bola putih. Gambarlah 2 bola tanpa penggantian:

1. Probabilitas pertama adalah merah: $P(A)$
2. Diberikan bola pertama berwarna merah, probabilitas bola kedua berwarna merah: $P(B|A)$

Solusi:

1. $P(A) = \frac{3}{5}$

2. Setelah menggambar warna merah, tersisa 2 warna merah dan 2 warna putih: $P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Jawaban: $P(A) = \frac{3}{5}$, $P(B|A) = \frac{1}{2}$

---

[Contoh 2] Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Melempar dua koin yang adil. Mari:

• $A$: Setidaknya satu kepala
• $B$: Kedua kepala

Temukan $P(B|A)$.

Solusi:

Ruang sampel: $\Omega = \{HH, HT, TH, TT\}$

Kejadian $A$: Setidaknya satu kepala, $A = \{HH, HT, TH\}$, $P(A) = \frac{3}{4}$

Acara $B$: Kedua kepala, $B = \{HH\}$, $P(B) = \frac{1}{4}$

Persimpangan: $A \cap B = \{HH\}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$

Jawaban: $\frac{1}{3}$

Teorema Bayes

$P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A|B_j)}$

Aplikasi: Temukan probabilitas "penyebab" yang diberikan "akibat"

Kesalahpahaman Umum

❌ Miskonsepsi 1: Rumus yang salah

Salah: $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$

Benar: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

❌ Miskonsepsi 2: Membingungkan $P(A|B)$ dan $P(B|A)$

Salah: Memikirkan $P(A|B) = P(B|A)$

Benar: Secara umum $P(A|B) \neq P(B|A)$

Tips Belajar

1. ✅ Pahami definisi: Probabilitas dalam ruang sampel baru
2. ✅ Menguasai rumus: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
3. ✅ Membedakan konsep: Saling eksklusif vs independen
4. ✅ Menggunakan diagram pohon: Membantu memvisualisasikan masalah yang kompleks

---

💡 Tip Ujian: Probabilitas bersyarat adalah kunci dalam probabilitas CSCA! Harus memahami secara mendalam. Menyumbang 30-40% dari masalah probabilitas.