二次函数èrcì hánshù

Concept fondamental

Une fonction quadratique est une fonction polynomiale de degré 2 :

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$

où $a$, $b$, $c$ sont des constantes et $a \neq 0$.

Trois formes

Forme	Expression	Caractéristique clé
Forme développée	$y = ax^2 + bx + c$	Montre l'ordonnée à l'origine $c$
Forme canonique	$y = a(x-h)^2 + k$	Montre le sommet $(h, k)$
Forme factorisée	$y = a(x-x_1)(x-x_2)$	Montre les racines $x_1, x_2$

Le sommet

Le sommet est le point le plus haut ou le plus bas de la parabole.

Coordonnées du sommet

$h = -\frac{b}{2a}, \quad k = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Ou de manière équivalente : $k = f(h) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Forme canonique

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

où $(h, k)$ est le sommet.

Propriétés du graphe

Sens d'ouverture

• $a > 0$ : La parabole s'ouvre vers le haut (forme U), le sommet est un minimum
• $a < 0$ : La parabole s'ouvre vers le bas (forme ∩), le sommet est un maximum

Axe de symétrie

$x = -\frac{b}{2a} = h$

La parabole est symétrique par rapport à cette droite verticale.

Ordonnée à l'origine

L'ordonnée à l'origine est $(0, c)$, obtenue en posant $x = 0$.

Racines (abscisses à l'origine)

Obtenues en résolvant $ax^2 + bx + c = 0$. Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ détermine :

• $\Delta > 0$ : Deux racines distinctes
• $\Delta = 0$ : Une racine double (le sommet touche l'axe des x)
• $\Delta < 0$ : Aucune racine réelle

Monotonie

Lorsque $a > 0$ :

• Décroissante sur $(-\infty, h]$
• Croissante sur $[h, +\infty)$

Lorsque $a < 0$ :

• Croissante sur $(-\infty, h]$
• Décroissante sur $[h, +\infty)$

Image (ensemble des valeurs)

Lorsque $a > 0$ :

$\text{Image} = [k, +\infty)$

Lorsque $a < 0$ :

$\text{Image} = (-\infty, k]$

Exercices pratiques CSCA

💡 Remarque : Les exercices suivants sont conçus selon le programme de l'examen CSCA.

Exemple 1 : Niveau élémentaire (Difficulté ★★☆☆☆)

Trouvez le sommet de $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

Solution :

Méthode 1 (Formule) : $h = -\frac{-6}{2(1)} = 3$ $k = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$

Méthode 2 (Complétion du carré) : $f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$

Réponse : Le sommet est $(3, -4)$

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Exemple 2 : Intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Trouvez l'image de $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ sur $[0, 3]$.

Solution :

Complétion du carré : $f(x) = -(x^2 - 4x) - 1 = -(x-2)^2 + 4 - 1 = -(x-2)^2 + 3$

Sommet en $(2, 3)$, parabole ouverte vers le bas.

Puisque $2 \in [0, 3]$, le maximum est au sommet : $f(2) = 3$

Vérification des bornes :

• $f(0) = -1$
• $f(3) = -9 + 12 - 1 = 2$

Le minimum est $f(0) = -1$.

Réponse : L'image est $[-1, 3]$

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Exemple 3 : Avancé (Difficulté ★★★★☆)

Si $f(x) = x^2 - 2ax + a$ a pour valeur minimale $-2$ sur $[0, 2]$, trouvez $a$.

Solution :

$f(x) = (x-a)^2 + a - a^2$, sommet en $(a, a-a^2)$.

Cas 1 : $a < 0$ (sommet à gauche de l'intervalle) Minimum en $x = 0$ : $f(0) = a = -2$ Vérification : sommet en $(-2, -2-4) = (-2, -6)$, mais $f(0) = -2 \neq -6$. ✓ Donc $a = -2$ convient.

Cas 2 : $0 \leq a \leq 2$ (sommet dans l'intervalle) Minimum au sommet : $a - a^2 = -2$ $a^2 - a - 2 = 0$ $(a-2)(a+1) = 0$ $a = 2$ ou $a = -1$ Seul $a = 2$ est dans $[0, 2]$. Vérification : $f(x) = (x-2)^2$, minimum en $x=2$ vaut $0 \neq -2$. ✗

Cas 3 : $a > 2$ (sommet à droite de l'intervalle) Minimum en $x = 2$ : $f(2) = 4 - 4a + a = 4 - 3a = -2$ $a = 2$, contredit $a > 2$. ✗

Réponse : $a = -2$

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Exemple 4 : Avancé (Difficulté ★★★★☆)

Trouvez toutes les valeurs de $m$ telles que $f(x) = x^2 - mx + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Solution :

Pour que $f(x) > 0$ pour tout $x$, la parabole doit s'ouvrir vers le haut (✓, $a = 1 > 0$) et n'avoir aucune racine réelle.

Cela nécessite $\Delta < 0$ : $\Delta = m^2 - 4(1)(1) = m^2 - 4 < 0$ $m^2 < 4$ $-2 < m < 2$

Réponse : $m \in (-2, 2)$

Conversion entre les formes

De la forme développée à la forme canonique

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ :

1. Factoriser $a$ des deux premiers termes : $f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$
2. Compléter le carré : $f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$
3. Simplifier : $f(x) = a(x - h)^2 + k$ avec $h = -\frac{b}{2a}$, $k = c - \frac{b^2}{4a}$

De la forme canonique à la forme développée

Soit $f(x) = a(x-h)^2 + k$ :

Développer : $f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k$

Donc $b = -2ah$ et $c = ah^2 + k$.

Erreurs courantes

❌ Erreur 1 : Mauvais signe dans la formule du sommet

Faux : $h = \frac{b}{2a}$ ✗

Correct : $h = -\frac{b}{2a}$ ✓

❌ Erreur 2 : Ignorer le domaine lors du calcul de l'image

Faux : L'image de $f(x) = x^2$ sur $[1, 3]$ est $[0, +\infty)$ ✗

Correct : Sur $[1, 3]$, le minimum est $f(1) = 1$, donc l'image est $[1, 9]$ ✓

❌ Erreur 3 : Confusion sur la position du sommet

Lorsque le domaine est restreint, le sommet peut se trouver en dehors du domaine. Vérifiez si le sommet est à l'intérieur, à gauche ou à droite de l'intervalle.

Conseils d'étude

1. ✅ Maîtriser la complétion du carré : Essentiel pour trouver le sommet
2. ✅ Connaître les trois cas : Sommet à l'intérieur, à gauche ou à droite de l'intervalle
3. ✅ Utiliser le discriminant : Pour les questions sur les intersections avec l'axe des x
4. ✅ Faire des croquis : Visualiser la parabole pour éviter les erreurs

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💡 Conseil pour l'examen : Pour les problèmes avec domaine restreint, localisez d'abord le sommet par rapport au domaine, puis vérifiez les bornes. Les valeurs extrêmes se trouvent soit au sommet (s'il est dans le domaine) soit aux bornes !