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Concept fondamental

L'ensemble image (ou image) d'une fonction $f$ est l'ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles (valeurs de y) que la fonction peut produire.

Définition mathématique

$\text{Im}(f) = \{y \mid y = f(x) \text{ pour un certain } x \in \text{Dom}(f)\}$

L'ensemble image est aussi appelé le codomaine image ou simplement l'image de la fonction.

Ensemble de définition vs. Ensemble image

Concept	Symbole	Description
Ensemble de définition	$D_f$	Ensemble de toutes les valeurs d'entrée valides (x)
Ensemble image	$R_f$	Ensemble de toutes les valeurs de sortie (y)

Relation clé : L'ensemble image dépend à la fois de la règle de la fonction ET de l'ensemble de définition.

Méthodes pour déterminer l'ensemble image

Méthode 1 : Analyse directe (观察法)

Pour les fonctions simples, analyser directement le comportement.

Exemple : $f(x) = x^2$, $x \in \mathbb{R}$

Puisque $x^2 \geq 0$ pour tout réel $x$, et $x^2$ peut être arbitrairement grand :

Ensemble image : $[0, +\infty)$

Méthode 2 : Méthode de la fonction réciproque (反函数法)

1. Écrire $y = f(x)$
2. Résoudre $x$ en fonction de $y$
3. Trouver les valeurs de $y$ pour lesquelles $x$ est défini

Exemple : $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, $x \neq 1$

Posons $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$

Résolvons pour $x$ : $y(x - 1) = 2x + 1$ $xy - y = 2x + 1$ $xy - 2x = y + 1$ $x(y - 2) = y + 1$ $x = \dfrac{y + 1}{y - 2}$

Pour que $x$ existe, il faut $y \neq 2$.

Ensemble image : $\{y \mid y \neq 2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$

Méthode 3 : Méthode de la monotonie (单调性法)

Utiliser la monotonie de la fonction pour déduire l'ensemble image à partir de l'ensemble de définition.

Exemple : $f(x) = 2^x$, $x \in [-1, 2]$

Puisque $f(x) = 2^x$ est strictement croissante :

• Minimum : $f(-1) = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$
• Maximum : $f(2) = 2^2 = 4$

Ensemble image : $[\dfrac{1}{2}, 4]$

Méthode 4 : Complétion du carré (配方法)

Pour les fonctions quadratiques $f(x) = ax^2 + bx + c$.

Exemple : $f(x) = x^2 - 4x + 5$, $x \in \mathbb{R}$

Complétion du carré : $f(x) = (x - 2)^2 + 1$

Puisque $(x - 2)^2 \geq 0$, le minimum est 1 en $x = 2$.

Ensemble image : $[1, +\infty)$

Méthode 5 : Substitution (换元法)

Exemple : $f(x) = x + \sqrt{x - 1}$, $x \geq 1$

Posons $t = \sqrt{x - 1}$, où $t \geq 0$

Alors $x = t^2 + 1$, donc : $f = t^2 + 1 + t = t^2 + t + 1 = (t + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4}$

Puisque $t \geq 0$, le minimum est atteint en $t = 0$ : $f_{\min} = 0 + 0 + 1 = 1$

Ensemble image : $[1, +\infty)$

Exercices pratiques CSCA

💡 Note : Les exercices suivants sont conçus selon le programme de l'examen CSCA.

Exemple 1 : Basique (Difficulté ★★☆☆☆)

Déterminer l'ensemble image de $f(x) = 3x - 2$, $x \in [0, 4]$.

Solution : La fonction linéaire est strictement croissante.

• En $x = 0$ : $f(0) = -2$
• En $x = 4$ : $f(4) = 10$

Réponse : $[-2, 10]$

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Exemple 2 : Intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Déterminer l'ensemble image de $f(x) = x^2 - 2x + 3$, $x \in [-1, 2]$.

Solution :

Complétion du carré : $f(x) = (x - 1)^2 + 2$

Sommet en $x = 1$ (dans l'ensemble de définition), minimum = 2

Vérification des extrémités :

• $f(-1) = 1 + 2 + 3 = 6$
• $f(2) = 4 - 4 + 3 = 3$

Réponse : $[2, 6]$

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Exemple 3 : Avancé (Difficulté ★★★★☆)

Déterminer l'ensemble image de $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$, $x \in \mathbb{R}$.

Solution :

Posons $y = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$

Multiplication croisée : $y(x^2 + 2) = x^2 + 1$

$yx^2 + 2y = x^2 + 1$

$x^2(y - 1) = 1 - 2y$

$x^2 = \dfrac{1 - 2y}{y - 1}$

Pour que $x$ soit réel, il faut $x^2 \geq 0$ : $\dfrac{1 - 2y}{y - 1} \geq 0$

Il faut que $(1 - 2y)$ et $(y - 1)$ soient de même signe.

• Cas 1 : Les deux positifs : $y < \dfrac{1}{2}$ et $y > 1$ → impossible
• Cas 2 : Les deux négatifs : $y > \dfrac{1}{2}$ et $y < 1$ → $\dfrac{1}{2} < y < 1$

De plus, quand $x^2 \to +\infty$, $y \to 1$ (sans jamais atteindre 1). En $x = 0$ : $y = \dfrac{1}{2}$ (atteignable).

Réponse : $[\dfrac{1}{2}, 1)$

Erreurs courantes

❌ Erreur 1 : Ignorer les restrictions de l'ensemble de définition

Faux : L'ensemble image de $f(x) = \sqrt{x}$ est $\mathbb{R}$ ✗

Correct : L'ensemble image de $f(x) = \sqrt{x}$ est $[0, +\infty)$ ✓

❌ Erreur 2 : Mauvaise méthode pour un ensemble de définition borné

Faux : Pour $f(x) = x^2$, $x \in [1, 3]$, l'ensemble image est $[0, 9]$ ✗

Correct : L'ensemble image est $[1, 9]$ (minimum en $x = 1$, pas en $x = 0$) ✓

❌ Erreur 3 : Oublier de vérifier les extrémités

Toujours vérifier les valeurs de la fonction aux bornes de l'ensemble de définition.

Conseils d'étude

1. ✅ Identifier d'abord le type de fonction : Linéaire, quadratique, rationnelle, etc.
2. ✅ Vérifier si l'ensemble de définition est borné : Utiliser la monotonie si borné
3. ✅ Pour les quadratiques, localiser le sommet : Est-il dans l'ensemble de définition ?
4. ✅ Pour les fractions, utiliser la méthode réciproque : Résoudre $x$ en fonction de $y$

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💡 Conseil d'examen : Pour les ensembles de définition bornés, toujours vérifier à la fois le sommet (pour les quadratiques) ET les extrémités !