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Concept fondamental

La monotonie décrit si une fonction est constamment croissante ou constamment décroissante sur un intervalle. Une fonction est dite monotone sur un intervalle si elle y est entièrement croissante ou entièrement décroissante.

Définitions

Fonction croissante (递增函数)

Une fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $I$ si : $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

De manière équivalente : entrée plus grande → sortie plus grande.

Fonction décroissante (递减函数)

Une fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $I$ si : $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

De manière équivalente : entrée plus grande → sortie plus petite.

Monotonie non stricte

• Non décroissante : $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$
• Non croissante : $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$

Méthodes pour déterminer la monotonie

Méthode 1 : Méthode par définition (定义法)

1. Prendre $x_1, x_2$ quelconques dans l'intervalle avec $x_1 < x_2$
2. Calculer $f(x_1) - f(x_2)$
3. Déterminer le signe de la différence :
   • Toujours négatif → croissante
   • Toujours positif → décroissante

Exemple : Prouver que $f(x) = x^2$ est croissante sur $(0, +\infty)$.

Pour $0 < x_1 < x_2$ : $f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$

Puisque $x_1 < x_2$ : $(x_1 - x_2) < 0$ Puisque $x_1, x_2 > 0$ : $(x_1 + x_2) > 0$

Par conséquent : $f(x_1) - f(x_2) < 0$, donc $f(x_1) < f(x_2)$.

Conclusion : $f(x) = x^2$ est croissante sur $(0, +\infty)$.

Méthode 2 : Méthode par dérivée (导数法)

Pour les fonctions dérivables :

• $f'(x) > 0$ sur l'intervalle $I$ → $f$ est croissante sur $I$
• $f'(x) < 0$ sur l'intervalle $I$ → $f$ est décroissante sur $I$

Exemple : Trouver les intervalles de monotonie de $f(x) = x^3 - 3x$.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

• $f'(x) > 0$ : lorsque $x < -1$ ou $x > 1$
• $f'(x) < 0$ : lorsque $-1 < x < 1$

Intervalles de monotonie :

• Croissante : $(-\infty, -1)$ et $(1, +\infty)$
• Décroissante : $(-1, 1)$

Monotonie des fonctions usuelles

Fonction	Intervalle croissant	Intervalle décroissant
$y = kx + b$ ($k > 0$)	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = kx + b$ ($k < 0$)	—	$(-\infty, +\infty)$
$y = x^2$	$[0, +\infty)$	$(-\infty, 0]$
$y = \dfrac{1}{x}$	—	$(-\infty, 0)$, $(0, +\infty)$
$y = \sqrt{x}$	$[0, +\infty)$	—
$y = a^x$ ($a > 1$)	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = a^x$ ($0 < a < 1$)	—	$(-\infty, +\infty)$

Exercices pratiques CSCA

💡 Remarque : les exercices suivants sont conçus sur la base du programme de l'examen CSCA.

Exemple 1 : niveau élémentaire (difficulté ★★☆☆☆)

Déterminer les intervalles de monotonie de $f(x) = -x^2 + 4x$.

Solution :

$f(x) = -(x^2 - 4x) = -(x - 2)^2 + 4$

C'est une parabole ouverte vers le bas avec sommet en $x = 2$.

• Croissante : $(-\infty, 2]$
• Décroissante : $[2, +\infty)$

Réponse : Croissante sur $(-\infty, 2]$, décroissante sur $[2, +\infty)$

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Exemple 2 : niveau intermédiaire (difficulté ★★★☆☆)

Prouver que $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ est croissante sur $(-1, +\infty)$.

Solution :

Soient $-1 < x_1 < x_2$.

$f(x_1) - f(x_2) = \dfrac{x_1}{x_1+1} - \dfrac{x_2}{x_2+1}$

$= \dfrac{x_1(x_2+1) - x_2(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1x_2 + x_1 - x_1x_2 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

Puisque $x_1 < x_2$ : numérateur $< 0$ Puisque $x_1, x_2 > -1$ : $(x_1+1)(x_2+1) > 0$

Par conséquent : $f(x_1) - f(x_2) < 0$, donc $f(x_1) < f(x_2)$.

Conclusion : $f(x)$ est croissante sur $(-1, +\infty)$.

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Exemple 3 : niveau avancé (difficulté ★★★★☆)

Si $f(x) = x^2 - 2ax + 1$ est croissante sur $[1, +\infty)$, déterminer l'ensemble des valeurs de $a$.

Solution :

$f(x) = (x - a)^2 + 1 - a^2$

Le sommet se situe en $x = a$.

Pour que $f(x)$ soit croissante sur $[1, +\infty)$, le sommet doit se trouver en $x = 1$ ou à sa gauche.

Par conséquent : $a \leq 1$

Réponse : $a \leq 1$, soit $(-\infty, 1]$

Propriétés des fonctions monotones

1. Règles de composition

$f$	$g$	$f \circ g$
Croissante	Croissante	Croissante
Croissante	Décroissante	Décroissante
Décroissante	Croissante	Décroissante
Décroissante	Décroissante	Croissante

Moyen mnémotechnique : « Même sens → Croissante, Sens contraire → Décroissante » (同增异减)

2. Fonction réciproque

Si $f$ est strictement monotone, alors $f^{-1}$ existe et possède la même monotonie que $f$.

Erreurs courantes

❌ Erreur 1 : Confondre intervalle de monotonie et domaine de définition

Faux : $y = \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $(-\infty, +\infty)$ ✗

Correct : $y = \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $(-\infty, 0)$ ET sur $(0, +\infty)$ séparément ✓

❌ Erreur 2 : Réunir des intervalles disjoints

Faux : $y = \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ ✗

Correct : Énoncer les intervalles séparément : décroissante sur $(-\infty, 0)$ et sur $(0, +\infty)$ ✓

❌ Erreur 3 : Ignorer les conditions aux bornes dans la preuve

Lors de la preuve de la monotonie, s'assurer que $x_1 < x_2$ appartiennent tous deux à l'intervalle spécifié.

Conseils d'étude

1. ✅ Maîtriser la définition : $x_1 < x_2$ implique quoi pour $f(x_1)$ vs $f(x_2)$ ?
2. ✅ Connaître les fonctions usuelles : mémoriser la monotonie des fonctions standard
3. ✅ Utiliser les dérivées : pour les fonctions complexes, la méthode par dérivée est plus rapide
4. ✅ Ne jamais réunir des intervalles disjoints : toujours les énoncer séparément

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💡 Conseil pour l'examen : pour les fonctions du second degré, toujours déterminer le sommet en premier. La monotonie change au sommet !