导数dǎoshù

Concept fondamental

La dérivée est un concept fondamental du calcul différentiel et intégral qui décrit le taux de variation instantané d'une fonction en un point donné. Géométriquement, elle représente la pente de la tangente à une courbe en ce point.

Définition mathématique

La dérivée de la fonction$y = f(x)$

en$x_0$

est définie comme suit :$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Si cette limite existe, la fonction$f(x)$

est dite dérivable en$x_0$

.

Notation de la dérivée

-$f'(x)$

• Notation de Lagrange -$\frac{dy}{dx}$

• Notation de Leibniz -$y'$

• Forme abrégée -$\frac{df}{dx}$

• Forme différentielle

Formules courantes de dérivées

Fonctions de base

1. Constante : $(C)' = 0$

2. Puissance : $(x^n)' = nx^{n-1}$

3. Exponentielle :$(e^x)' = e^x$

, $(a^x)' = a^x \ln a$

4. Logarithmique : $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

5. Trigonométrique :

$(\sin x)' = \cos x$

• $(\cos x)' = -\sin x$

$(\tan x)' = \sec^2 x$

Règles de dérivation

1. Somme/Différence :$(f \pm g)' = f' \pm g'$

2. Produit : $(fg)' = f'g + fg'$

3. Quotient : $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

4. Chaîne : $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Applications

1. Trouver les tangentes

Tangente à la courbe$y = f(x)$

en$(x_0, f(x_0))$

:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

2. Déterminer la monotonicité

-$f'(x) > 0$

→ fonction croissante -$f'(x) < 0$

→ fonction décroissante -$f'(x) = 0$

→ extremum possible

3. Trouver les extrema

Étapes :

1. Trouver la dérivée $f'(x)$

2. Résoudre$f'(x) = 0$

pour les points critiques 3. Tester les changements de signe autour des points critiques

Exercices pratiques CSCA

> 💡 Remarque : les exercices pratiques suivants sont conçus sur la base du programme de l'examen CSCA et des formats de tests standardisés chinois afin d'aider les étudiants à se familiariser avec les types de questions et les approches de résolution de problèmes.

Exemple 1 : niveau élémentaire (difficulté ★★☆☆☆)

Trouvez la dérivée de$f(x) = x^3 + 2x$

.

Solution :

---

$f'(x) = 3x^2 + 2$

Exemple 2 : niveau intermédiaire (difficulté ★★★☆☆)

Trouvez l'équation de la tangente à$y = x^2$

au point$(1, 1)$

.

Solution :

Étape 1 : Trouvez la dérivée $y' = 2x$

Étape 2 : Trouvez la pente en$x=1$

:$k = 2(1) = 2$

Étape 3 : Écrivez l'équation de la tangente :

$y - 1 = 2(x - 1)$ $y = 2x - 1$

Réponse :

---$y = 2x - 1$

Exemple 3 : Avancé (Difficulté ★★★★☆)

Trouvez les extrêmes de$f(x) = x^3 - 3x$

.

Solution :

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$

Points critiques : $x = -1, 1$

• Maximum :$f(-1) = 2$

en $x = -1$

• Minimum :$f(1) = -2$

en

##$x = 1$

Erreurs courantes

❌ Erreur 1 :

$(x^2)' = 2$

Correction :$(x^2)' = 2x$

, et non 2 ! N'oubliez pas de conserver le$x$

.

❌ Erreur 2 :$(fg)' = f'g'$

Correction : la règle du produit est$(fg)' = f'g + fg'$

, et non$f'g'$

!

❌ Erreur 3 : $f'(x_0) = 0$

signifie toujours un extremum.

Correction :$f'(x_0) = 0$

n'est qu'une condition nécessaire. Il faut vérifier le changement de signe.

Conseils d'étude

1. ✅ Comprendre la définition : dérivée = taux instantané = pente tangente.
2. ✅ Mémorisez les formules : apprenez les dérivées de base et les règles.
3. ✅ Entraînez-vous : en particulier les applications de la règle de dérivation en chaîne.
4. ✅ Applications : les dérivées sont largement utilisées en optimisation.

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💡 Conseil pour l'examen : les dérivées représentent environ 15 % des questions de mathématiques du CSCA. Maîtrisez la dérivation de base et les applications géométriques !