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Concept fondamental

Le discriminant d'une équation du second degré $ax^2 + bx + c = 0$ est défini comme suit :

$\Delta = b^2 - 4ac$

Le discriminant permet de déterminer la nature (le type et le nombre) des racines de l'équation du second degré.

Analyse des causes profondes

Discriminant	Nombre de racines réelles	La nature des racines
$\Delta > 0$	Deux	Deux racines réelles distinctes
$\Delta = 0$	Un	Une racine réelle répétée (racine double)
$\Delta < 0$	Zéro	Deux racines complexes conjuguées

Cas n° 1 : $\Delta > 0$ (deux racines réelles distinctes)

Les racines sont les suivantes : $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

Cas n° 2 : $\Delta = 0$ (une racine répétée)

La racine est : $x = -\frac{b}{2a}$

La parabole est tangente à l'axe des x en ce point.

Cas n° 3 : $\Delta < 0$ (sans racines réelles)

Les origines sont complexes : $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$

La parabole ne coupe pas l'axe des x.

Interprétation graphique

Pour la fonction quadratique $f(x) = ax^2 + bx + c$ :

• $\Delta > 0$ : La parabole coupe l'axe des x en deux points
• $\Delta = 0$ : La parabole coupe l'axe des x en un seul point (sommet)
• $\Delta < 0$ : La parabole ne touche pas l'axe des x

Exercices pratiques du CSCA

💡 Remarque : Les exercices pratiques suivants ont été élaborés sur la base du programme de l'examen du CSCA.

Exemple 1 : Niveau débutant (Difficulté ★★☆☆☆)

Déterminez la nature des racines de $x^2 - 4x + 4 = 0$.

Solution : $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$

Depuis $\Delta = 0$, il y a une racine qui se répète.

Réponse : Une racine réelle répétée : $x = 2$

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Exemple 2 : Niveau intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Pour quelles valeurs de $k$ l'équation $x^2 + kx + 9 = 0$ a-t-elle deux racines réelles égales ?

Solution :

Pour des racines égales, il faut $\Delta = 0$ : $\Delta = k^2 - 4(1)(9) = k^2 - 36 = 0$ $k^2 = 36$ $k = \pm 6$

Réponse : $k = 6$ ou $k = -6$

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Exemple 3 : Niveau avancé (Difficulté ★★★★☆)

Déterminez l'intervalle de valeurs de $m$ tel que $x^2 + 2x + m = 0$ ait deux racines négatives distinctes.

Solution :

Soient $x_1, x_2$ les racines. Il faut que :

1. Deux racines réelles distinctes : $\Delta > 0$
2. Les deux racines sont négatives : $x_1 + x_2 < 0$ ET $x_1 \cdot x_2 > 0$

D'après les formules de Vieta :

• $x_1 + x_2 = -2 < 0$ ✓ (toujours satisfait)
• $x_1 \cdot x_2 = m > 0$

Extrait de « discriminant » : $\Delta = 4 - 4m > 0$ $1 - m > 0$ $m < 1$

Combinaison : $0 < m < 1$

Réponse : $m \in (0, 1)$

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Exemple 4 : Niveau avancé (Difficulté ★★★★☆)

Si $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) a pour racines $x_1$ et $x_2$, exprimez $|x_1 - x_2|$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.

Solution :

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

D'après les formules de Vieta : $(x_1 - x_2)^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4 \cdot \frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2}$

Par conséquent : $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$

Réponse : $|x_1 - x_2| = \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$

Applications

1. Intersection d'une droite et d'une courbe

Pour déterminer combien de fois une droite coupe une parabole :

1. Remplacer l'équation de la droite par l'équation de la parabole
2. Résoudre une équation du second degré
3. Utiliser le discriminant pour compter les points d'intersection

2. Conditions de tangence

Une droite est tangente à une parabole lorsque $\Delta = 0$.

Exemple : Pour que $y = x^2$ et $y = kx - 1$ soient tangentes : $x^2 = kx - 1$ $x^2 - kx + 1 = 0$ $\Delta = k^2 - 4 = 0$ $k = \pm 2$

Erreurs courantes

❌ Erreur n° 1 : erreur de signe dans la formule

Incorrect : $\Delta = b^2 + 4ac$ ✗

Correct : $\Delta = b^2 - 4ac$ ✓

❌ Erreur n° 2 : oublier de prendre en compte toutes les conditions

Lorsque vous recherchez des racines présentant des propriétés spécifiques (toutes positives, toutes négatives, etc.), vous devez vérifier :

• Condition discriminante ($\Delta$)
• Condition de somme des racines
• Condition du produit des racines

❌ Erreur n° 3 : confondre les racines égales avec l'absence de racines

Faux : $\Delta = 0$ signifie « pas de racines réelles » ✗

Correct : $\Delta = 0$ signifie une racine réelle répétée ; $\Delta < 0$ signifie qu'il n'y a pas de racines réelles ✓

Conseils pour les études

1. ✅ Mémorisez la formule : $\Delta = b^2 - 4ac$
2. ✅ Se connecter aux graphiques : visualiser les cas où une parabole coupe, touche ou ne touche pas l'axe des x
3. ✅ À combiner avec la formule de Vieta : de nombreux problèmes nécessitent à la fois la formule du discriminant et celle de Vieta
4. ✅ Vérifier toutes les conditions : pour les racines soumises à des contraintes, vérifier $\Delta$, la somme et le produit

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💡 Astuce d'examen : Le discriminant apparaît dans de nombreux problèmes du CSCA portant sur l'existence de racines. Vérifiez toujours d'abord $\Delta$ lorsqu'un problème mentionne des « racines réelles » ou « aucune racine réelle » !