判别式pànbiéshì

Concept fondamental

Le discriminant (note $\Delta$) est une valeur cle calculee a partir des coefficients d'une equation quadratique qui determine la nature et le nombre de ses racines.

Definition

Pour une equation quadratique sous forme standard :

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

le discriminant est defini comme :

$\Delta = b^2 - 4ac$

Cette expression apparait sous le signe radical dans la formule quadratique :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Les trois cas

Cas 1 : $\Delta > 0$ — Deux racines reelles distinctes

L'equation a deux solutions reelles differentes :

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

Exemple : $x^2 - 5x + 6 = 0$

$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0$

$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Cas 2 : $\Delta = 0$ — Une racine double (racine repetee)

L'equation a exactement une solution reelle (racine double) :

$x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$

Exemple : $x^2 - 6x + 9 = 0$

$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$

$x = \frac{6}{2} = 3$

Cas 3 : $\Delta < 0$ — Pas de racines reelles

L'equation n'a pas de solutions reelles (deux racines complexes conjuguees).

Exemple : $x^2 + 2x + 5 = 0$

$\Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0$

Pas de racines reelles.

Interpretation graphique

Le discriminant determine comment la parabole $y = ax^2 + bx + c$ intersecte l'axe des x :

Discriminant	Parabole et axe des x	Nombre de points d'intersection
$\Delta > 0$	Coupe l'axe des x en deux points	2
$\Delta = 0$	Tangente a l'axe des x en un point (sommet)	1
$\Delta < 0$	Ne coupe pas l'axe des x	0

Si $a > 0$ (parabole ouverte vers le haut) et $\Delta < 0$, la parabole entiere se situe au-dessus de l'axe des x, c'est-a-dire $ax^2 + bx + c > 0$ pour tout $x$ reel.

Exercices pratiques CSCA

💡 Remarque : Les exercices pratiques suivants sont concus sur la base du programme de l'examen CSCA et des formats de tests standardises chinois afin d'aider les etudiants a se familiariser avec les types de questions et les approches de resolution de problemes.

Exercice 1 : Niveau elementaire (Difficulte ★★☆☆☆)

Determinez le discriminant et la nature des racines pour : $2x^2 + 3x - 2 = 0$

Solution :

$\Delta = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 > 0$

Puisque $\Delta > 0$, l'equation a deux racines reelles distinctes.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -2$

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Exercice 2 : Intermediaire (Difficulte ★★★☆☆)

Pour quelles valeurs de $m$ l'equation $x^2 + mx + 4 = 0$ n'a-t-elle pas de racines reelles ?

Solution :

Pas de racines reelles signifie $\Delta < 0$ :

$\Delta = m^2 - 4(1)(4) < 0$ $m^2 - 16 < 0$ $m^2 < 16$ $-4 < m < 4$

Reponse : $-4 < m < 4$

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Exercice 3 : Avance (Difficulte ★★★★☆)

Demontrez que l'equation $(k+1)x^2 + 2kx + (k-1) = 0$ possede toujours des racines reelles pour toute valeur reelle de $k$ (avec $k \neq -1$).

Solution :

$\Delta = (2k)^2 - 4(k+1)(k-1)$ $= 4k^2 - 4(k^2 - 1)$ $= 4k^2 - 4k^2 + 4$ $= 4 > 0$

Puisque $\Delta = 4 > 0$ pour tout $k$, l'equation a toujours deux racines reelles distinctes. $\blacksquare$

Erreurs courantes

❌ Erreur 1 : Mauvais signe dans $b^2 - 4ac$

Faux : $\Delta = b^2 + 4ac$ ✗

Correct : $\Delta = b^2 - 4ac$ ✓

❌ Erreur 2 : Oubli des parentheses pour $b$ negatif

Faux : Pour $x^2 - 6x + 5 = 0$ : $\Delta = -6^2 - 4(1)(5) = -36 - 20$ ✗

Correct : $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$ ✓

❌ Erreur 3 : Confusion entre $\Delta = 0$ et $\Delta < 0$

Faux : $\Delta = 0$ signifie pas de racines ✗

Correct : $\Delta = 0$ signifie une racine double ; $\Delta < 0$ signifie pas de racines reelles ✓

Conseils d'etude

1. ✅ Memorisez la formule : $\Delta = b^2 - 4ac$ — c'est la base de l'analyse des racines.
2. ✅ Attention aux signes : Surtout pour les valeurs negatives de $b$, n'oubliez pas les parentheses.
3. ✅ Faites le lien graphique : Associez toujours le discriminant au comportement d'intersection de la parabole avec l'axe des x.
4. ✅ Exercez les questions avec parametres : Les questions du CSCA demandent souvent de determiner les plages de parametres pour obtenir certains types de racines.

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💡 Conseil pour l'examen : Le discriminant est un outil central de l'algebre au CSCA. Les questions avec parametres ($k$, $m$) et conditions sur les racines sont particulierement frequentes — entrainez-vous avec differentes inegalites impliquant $\Delta$ !