韦达定理wéidá dìnglǐ

Concept fondamental

Les formules de Viète (韦达定理) relient les coefficients d'un polynôme aux sommes et produits de ses racines.

Pour l'équation du second degré $ax^2 + bx + c = 0$ avec les racines $x_1$ et $x_2$ :

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (Somme des racines)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (Produit des racines)

Démonstration

À partir de la formule quadratique : $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

Somme : $x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$

Produit : $x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b + \sqrt{\Delta})(-b - \sqrt{\Delta})}{4a^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$

Applications importantes

1. Calculer des expressions sans résoudre

Calculer des expressions impliquant les racines sans déterminer leurs valeurs réelles.

Formules courantes : $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

2. Construire des équations à partir des racines

Si $\alpha$ et $\beta$ sont les racines, l'équation du second degré est : $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$

Ou de manière équivalente : $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$

3. Déterminer le signe des racines

Sans résoudre, déterminer le signe des racines :

• Les deux positives : $x_1 + x_2 > 0$ ET $x_1 \cdot x_2 > 0$
• Les deux négatives : $x_1 + x_2 < 0$ ET $x_1 \cdot x_2 > 0$
• De signes opposés : $x_1 \cdot x_2 < 0$

Exercices pratiques CSCA

💡 Remarque : Les exercices suivants sont conçus selon le programme de l'examen CSCA.

Exemple 1 : Élémentaire (Difficulté ★★☆☆☆)

Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $x^2 - 3x - 4 = 0$, trouvez $x_1 + x_2$ et $x_1 \cdot x_2$.

Solution :

D'après les formules de Viète avec $a = 1$, $b = -3$, $c = -4$ : $x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$ $x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{1} = -4$

Réponse : Somme = 3, Produit = -4

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Exemple 2 : Intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $2x^2 + 5x - 3 = 0$, trouvez $x_1^2 + x_2^2$.

Solution :

D'après les formules de Viète : $x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}, \quad x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{2}$

En utilisant l'identité : $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ $= \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{3}{2}\right)$ $= \frac{25}{4} + 3 = \frac{25}{4} + \frac{12}{4} = \frac{37}{4}$

Réponse : $\dfrac{37}{4}$

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Exemple 3 : Avancé (Difficulté ★★★★☆)

Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $x^2 - 4x + 1 = 0$, trouvez $\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}$.

Solution :

D'après les formules de Viète : $x_1 + x_2 = 4, \quad x_1 \cdot x_2 = 1$

Simplifions l'expression : $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$

Calculons d'abord $x_1^2 + x_2^2$ : $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 - 2 = 14$

Par conséquent : $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{14}{1} = 14$

Réponse : $14$

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Exemple 4 : Avancé (Difficulté ★★★★☆)

Trouvez une équation du second degré à coefficients entiers dont les racines sont $2 + \sqrt{3}$ et $2 - \sqrt{3}$.

Solution :

Somme des racines : $\alpha + \beta = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

Produit des racines : $\alpha \cdot \beta = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

L'équation est : $x^2 - 4x + 1 = 0$

Réponse : $x^2 - 4x + 1 = 0$

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Exemple 5 : Avancé (Difficulté ★★★★★)

Si une racine de $x^2 + px + q = 0$ est le double de l'autre, et que la somme des racines vaut 6, trouvez $p$ et $q$.

Solution :

Soient les racines $r$ et $2r$.

D'après les formules de Viète :

• $r + 2r = 3r = -p$
• $r \cdot 2r = 2r^2 = q$

Comme la somme = 6 : $3r = 6 \Rightarrow r = 2$

Par conséquent : $p = -3r = -6$ $q = 2r^2 = 2(4) = 8$

Réponse : $p = -6$, $q = 8$

Formules de Viète généralisées

Pour l'équation cubique $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ avec les racines $x_1, x_2, x_3$ :

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$ $x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a}$ $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$

Erreurs courantes

❌ Erreur 1 : Mauvais signe pour la somme

Faux : $x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

Correct : $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ✓

❌ Erreur 2 : Supposer que les racines sont réelles

Les formules de Viète fonctionnent même lorsque $\Delta < 0$ (racines complexes), mais de nombreuses applications nécessitent des racines réelles. Vérifiez toujours $\Delta \geq 0$ si nécessaire.

❌ Erreur 3 : Conditions incomplètes sur les racines

Pour « les deux racines positives » : il faut à la fois $x_1 + x_2 > 0$ et $x_1 \cdot x_2 > 0$ et $\Delta \geq 0$.

Conseils d'étude

1. ✅ Mémoriser le signe : la somme a un signe négatif, le produit non
2. ✅ Apprendre les transformations courantes : $x_1^2 + x_2^2$, $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$, etc.
3. ✅ Combiner avec le discriminant : pour les conditions de racines réelles
4. ✅ Pratiquer les problèmes inverses : trouver l'équation à partir des racines

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💡 Conseil pour l'examen : Les formules de Viète sont fréquemment testées au CSCA. Maîtrisez les transformations pour $x_1^2 + x_2^2$ et $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ — elles apparaissent dans la plupart des problèmes !