Half-Angle Formulas

Comment l'examen réel l'évalue

Des questions tirées de vraies épreuves CSCA qui portent sur ce concept. Essayez de les résoudre avant d'afficher la réponse.

1. CSCA Math December 2025 Past Paper
   Given $\cos\alpha=-\frac{1}{2}$ and $\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$, find $\sin\frac{\alpha}{2}$.
   • A．$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • B．$\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • C．$\frac{1}{2}$
   • D．$-\frac{1}{2}$
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   Réponse : B

   Answer: B Since $\alpha/2\in(\pi/4,\pi/2)$, $\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Choose B.
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2. CSCA Math April 2026 Past Paper
   If $\cos \alpha = - \frac { 7 } { 25 }$ and $\frac { \pi } { 2 } < \alpha < \pi$, then $\cos \frac { \alpha } { 2 } =$
   • A．$- \frac { 4 } { 5 }$
   • B．$\frac { 4 } { 5 }$
   • C．$\frac { 3 } { 5 }$
   • D．$- \frac { 3 } { 5 }$
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   Réponse : C

   $\frac { \alpha } { 2 } \in \left( \frac { \pi } { 4 } , \frac { \pi } { 2 } \right)$, so $\cos \frac { \alpha } { 2 } > 0$. Half-angle: $\cos \frac { \alpha } { 2 } = \sqrt { \frac { 1 + \cos \alpha } { 2 } } = \sqrt { \frac { 18 / 25 } { 2 } } = \sqrt { \frac { 9 } { 25 } } = \frac { 3 } { 5 }$.
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3. CSCA Math June 2026 Past Paper
   If $\alpha \in \left[ \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]$, and $\cos \alpha = \frac{3}{5}$, then $\sin \frac{\alpha}{2} =$
   • A．$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
   • B．$\frac{\sqrt{5}}{5}$
   • C．$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
   • D．$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
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   Réponse : B

   $\alpha \in \left[ \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right] \Rightarrow \frac{\alpha}{2} \in \left[ \frac{3\pi}{4}, \pi \right]$, so $\sin \frac{\alpha}{2} \geq 0$. By the half-angle formula, $\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Choose (B).
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