排列páiliè

核心理念

一个 推定是从$n$个不同元素中按特定顺序选出的$m$个元素（$m \leq n$）的排列。

关键特征

1. 顺序很重要：不同的顺序算作不同的排列
2. 不重复：每个元素最多使用一次
3. 选择：从$n$元素中选择$m$ ($m \leq n$)。

换元公式

一般换元

表示$A_n^m$或$P_n^m$或$P(n,m)$_的$m$_元素与$n$_不同元素的排列次数：

$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$_

理解：

• 位置 1：$n$ 选项
• 位置 2：$n-1$ 选项
• ...
• 位置 $m$：位置$m$：$n-m+1$选项

根据乘法原理：$A_n^m = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m+1)$_

全排列

当$m = n$时，称为完全置换：

$A_n^n = n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$_

约定：$0! = 1$_

常用值

| $n$ | $n!$ | | $n!$ |-----|------| | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | | $1$ | $1$ | $2$ | $2$ | $2$ | $2$ | $2$ | $3$ | $6$ | $3$ | $6$ | $4$ | $24$ | | $5$ | $120$ | $5$ | $120$ | $6$ | $720$ | $720$

特殊排列组合

1.偏差

元素不在原位置的排列数：

$D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!}\right)$_

近似值：$D_n \approx \frac{n!}{e}$

2.圆周排列

将$n$不同的元素排列成圆：

$Q_n = \frac{A_n^n}{n} = (n-1)!$_

(没有固定的起点，除以$n$)

3.重复排列

$n$元素与$n_1$相同，$n_2$相同，...，$n_k$相同（$n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$）：

$\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$_

计算技巧

技巧 1：分步乘法

举例：从 10 人中选出 3 人担任主席、副主席和秘书。有几种方法？

解：

• 总统：10 个选项
• 副总统：9 个选项
• 秘书： 8 个选择

答案$10 \times 9 \times 8 = 720$_

技巧 2：先处理特殊元素

示例：5 个人排成一行，A 必须排在第一个。有几种方法？

解：

• A 固定在前：1 种方法
• 排列其余 4 人：$4! = 24$_

答案：$1 \times 24 = 24$_

技巧 3：互补计数法

例：一行 5 人，A 和 B 不相邻。有几种方法？

解：

• 总排列：$5! = 120$_
• A 和 B 相邻（视为一个）：$2! \times 4! = 48$_
• 不相邻：不相邻：$120 - 48 = 72$

答案：$72$_

CSCA 练习题

###[Example 1] Basic (Difficulty ★★☆☆)

计算 $A_6^3$.

解：

$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$_

或

$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 120$_

答案：$120$_

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###[Example 2] Intermediate (Difficulty ★★★☆)

5 个人排队照相，A 和 B 必须站在一起。有几种方法？

解：

分组法： 1.将 A 和 B 视为一个单位，排列 4 个单位：$4! = 24$_ 2.在内部排列 A 和 B：$2! = 2$_

答案：A$24 \times 2 = 48$_

常见误解

❌ 误区 1：混淆排列和组合

错误：不考虑顺序，把排列当作组合

正确：排列是有序的，组合是无序的

❌ 误解 2：忘记特殊限制

错误：忽略 "第一位数字不能为 0 "等条件

正确：先处理特殊位置或元素

与组合的关系

$A_n^m = C_n^m \times m!$_

理解：

• 从$n$中选择$m$：$C_n^m$_
• 排列这些 $m$ 元素：$m!$

学习提示

1.✅ 理解本质：排列强调顺序 2.✅ 掌握公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$_ 3.✅ 练习技巧：特殊元素优先、分组、插入、补全 4.✅ 案例分析：复杂问题需要分类

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💡 考试提示：排列是组合学的基础，是 CSCA 的必修课！约占计数问题的 40%。掌握案例分析和特殊处理技巧是关键。