排列páiliè

核心概念

排列是指从$n$

个不同元素$m$

中选取 个$m \leq n$

元素，按特定顺序进行的排列方式。

关键特征

1. 顺序重要：不同顺序视为不同排列
2. 不重复：每个元素最多使用一次
3. 选择：从n$$m

个元素中选取 个元素 ($m \leq n$

)

排列公式

一般排列

从n$$m

个不同元素中取 个元素的排列数，记为$A_n^m$

或$P_n^m$

或$P(n,m)$

:

**理解

$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

原理**：

• 第1位： 种选择$n$

• 第2位： 种选择$n-1$

• ...

• 第 位置$m$

：$n-m+1$

种选择

根据乘法原理：

$A_n^m = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m+1)$

全排列

当$m = n$

，称为 全排列：

**

$A_n^n = n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

约定**：

$0! = 1$

常见值

|$n$

|$n!$

| |-----|------| |$0$

|$1$

| |$1$

|$1$

| |$2$

|$2$

| |$3$

|$6$

| |$4$

|$24$

| |$5$

|$120$

| |$6$

|$720$

|

特殊排列

1. 错位排列

所有元素均不在原始位置的排列数：

近似公式$D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!}\right)$

：

$D_n \approx \frac{n!}{e}$

2. 圆形排列

将$n$

个不同元素排列成环：

$Q_n = \frac{A_n^n}{n} = (n-1)!$

（无固定起点，除以$n$

）

3. 重复

$n$

元素排列（含$n_1$

个相同元素，$n_2$

个相同元素，...，$n_k$

个相同元素$n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$

）：

$\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$

计算技巧

技巧1：逐步乘法法

例题：从10人中选出3人担任主席、副主席和秘书，有多少种方式？

解法：

• 主席：10种选择
• 副主席：9种选择
• 秘书：8种选择

答案：

$10 \times 9 \times 8 = 720$

方法2：优先处理特殊元素

例题：5人排队，A必须排在首位。有多少种排列方式？

解法：

• A固定首位：1种
• 剩余4人排列：

$4! = 24$

答案：

$1 \times 24 = 24$

技巧三：互补计数法

例题：5人排队，A与B不能相邻。有多少种排列方式？

解法：

• 总排列数： $5! = 120$

• A与B相邻（视为一种）： $2! \times 4! = 48$

• 不相邻：$120 - 48 = 72$

答案：

$72$

CSCA练习题

[例1] 基础题（难度★★☆☆☆）

计算$A_6^3$

。

解法：或

**

$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$

$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 120$

答案**：

---$120$

[例2] 中级题（难度★★★☆☆）

5人排队拍照，A和B必须站在一起。有多少种排列方式？

解法：

分组法：

1. 将A和B视为整体，排列4个整体： $4! = 24$

2. 排列A和B在整体内的位置：

$2! = 2$

答案：$24 \times 2 = 48$

常见误区

❌ 误区1：混淆排列与组合

错误：忽略顺序，将排列当作组合

正确：排列强调顺序，组合不考虑顺序

❌ 误区二：忽略特殊限制条件

错误：忽略"首位数字不能为0"等条件

正确：优先处理特殊位置或元素

与组合的关系

**

$A_n^m = C_n^m \times m!$

理解要点**：

• 从$n$

中$m$

选取 个元素： $C_n^m$

• 安排这$m$

个元素：

$m!$

学习技巧

1. ✅ 把握本质：排列强调顺序

2. ✅ 掌握公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

3. ✅ 实践技巧：特殊元素优先处理、分组法、插入法、补集法

4. ✅ 案例分析：复杂问题需分类处理

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💡 考试要点：排列是组合数学基础，CSCA必考！约占计数题40%。精通案例分析与特殊处理技巧是关键。