组合zǔhé

核心概念

组合是指从$n$

个不同元素中选取$m$

个元素（$m \leq n$

），且不考虑元素排列顺序。

关键特征

1. 顺序无关：相同元素以不同顺序排列仍视为同一组合
2. 不重复：每个元素最多使用一次
3. 选择：从$n$

个元素 ($m \leq n$

) 中$m$

选取 个

与排列的区别

• 排列：有顺序，$\{A, B, C\}$

与$\{B, A, C\}$

不同

• 组合：无顺序，$\{A, B, C\}$

与$\{B, A, C\}$

相同

组合公式

从n$$m

个不同元素中取 个元素的组合数，记为$C_n^m$

或$\binom{n}{m}$

或$C(n,m)$

：

理解过程

$C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

：

• 先排列： $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

• 消除内部顺序： $A_m^m = m!$

• 结果：$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

组合的性质

1. 对称性

$C_n^m = C_n^{n-m}$

含义：从$m$

中取$n$

个 = 从$n-m$

中取 $n$

个### 2. 帕斯卡恒等式

$C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$

含义：包含特定元素 + 排除特定元素

3. 特殊情况

-$C_n^0 = 1$

(不选元素，单向选择) -$C_n^1 = n$

(选单个元素，$n$

种选法) -$C_n^n = 1$

(全选元素，单向选择)

4. 二项式求和

$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n$

(从 中选任意个$n$

元素的总选法)

计算技巧

技巧1：利用对称性

$C_{100}^{98} = C_{100}^{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$

技巧2：帕斯卡

$C_5^3 = C_4^2 + C_4^3 = 6 + 4 = 10$

恒等式### 技巧3：通过消去法简化

$C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

CSCA练习题

[例题1] 基础（难度 ★★☆☆☆）

计算$C_7^3$

。

解法：

**

$C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

答案**：

---$35$

[例题2] 中级（难度 ★★★☆☆）

从10名男生和8名女生中选取5人组成团队，要求至少包含2名女生。有多少种选法？

解法：

情况分析：

情况1：2女3男：

**$C_8^2 \cdot C_{10}^3 = 28 \times 120 = 3360$

情况2**：3女2男：

**$C_8^3 \cdot C_{10}^2 = 56 \times 45 = 2520$

情况3**：4女1男：

**$C_8^4 \cdot C_{10}^1 = 70 \times 10 = 700$

情况4**：5女0男：

**$C_8^5 = 56$

答案**： $3360 + 2520 + 700 + 56 = 6636$

常见误区

❌ 误区1：混淆组合与排列

错误：用$C_n^5$

排列5人排队

正确：排队有顺序，应使用$A_n^5$

❌ 误区2：忽略情况分析

错误：直接计算"至少2名女生"

正确：分情况处理：2女、3女、4女、5女

与排列

$A_n^m = C_n^m \times m!$

$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!}$

的关系

学习要点

1. ✅ 理解本质：组合忽略顺序

2. ✅ 掌握公式：$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

3. ✅ 牢记性质：对称性、帕斯卡恒等式

4. ✅ 分情况分析："至少"、"至多"需分情况处理

5. ✅ 区分排列：判断顺序是否重要

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💡 考试要点：组合是组合数学核心，CSCA必考！约占计数题60%。分情况分析与容斥原理是必备技巧。