组合zǔhé

核心理念

一个组合是从$n$个不同的元素中选取的$m$个元素（$m \leq n$），不考虑顺序。

关键特征

1. 不考虑顺序：不同顺序中的相同元素算作一个组合
2. 不重复：每个元素最多使用一次
3. 选择：从$n$元素中选择$m$ ($m \leq n$)。

与排列的区别

• Permutation：有序，$\{A, B, C\}$和$\{B, A, C\}$是不同的
• 组合：无序，$\{A, B, C\}$和$\{B, A, C\}$相同

组合公式

来自$n$个不同元素的$m$个元素的组合数，用$C_n^m$或$\binom{n}{m}$或$C(n,m)$_表示：

$C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$_

理解：

• 先排列：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$_
• 去掉内部顺序：$A_m^m = m!$_
• 结果：$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

组合的性质

1.对称性

$C_n^m = C_n^{n-m}$

意义：从$n$中选择$m$ = 从$n$中离开$n-m$_

2.帕斯卡特性

$C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$

含义：包含特定元素 + 排除特定元素

3.特殊值

• $C_n^0 = 1$（不选，单选）
• $C_n^1 = n$（选择一项，$n$可供选择）
• $C_n^n = 1$（全选，单选）

4.二项式和

$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n$_

(从$n$中选择任意多个元素的总方法）

计算技巧

技巧 1：利用对称性

_$C_{100}^{98} = C_{100}^{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$

技巧 2：帕斯卡尔同一性

$C_5^3 = C_4^2 + C_4^3 = 6 + 4 = 10$_

技巧 3：化简为消

$C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

CSCA 练习题

###[Example 1] Basic (Difficulty ★★☆☆)

计算 $C_7^3$.

解：

$C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$_

答案**：$35$_

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###[Example 2] Intermediate (Difficulty ★★★☆)

从 10 名男生和 8 名女生中选出 5 人组成一个至少有 2 名女生的小组。有几种方法？

解：

案例分析：

案例 1：2 个女孩，3 个男孩：$C_8^2 \cdot C_{10}^3 = 28 \times 120 = 3360$_

Case 2：3 个女孩，2 个男孩：$C_8^3 \cdot C_{10}^2 = 56 \times 45 = 2520$_

Case 3：4 个女孩，1 个男孩：$C_8^4 \cdot C_{10}^1 = 70 \times 10 = 700$_

Case 4：5 个女孩，0 个男孩：$C_8^5 = 56$_

答案：$3360 + 2520 + 700 + 56 = 6636$_

常见误解

❌ 误解 1: 混淆组合与排列

错：用 $C_n^5$ 把 5 个人排成一行

正确：排队有顺序，应使用$A_n^5$

❌ 错误概念 2：忘记案例分析

错误：直接计算 "至少 2 个女孩"

正确：分成几种情况：2个女孩、3个女孩、4个女孩、5个女孩

与排列组合的关系

$A_n^m = C_n^m \times m!$_

$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!}$

学习提示

1.✅ 理解本质：组合忽略顺序 2.✅ 掌握公式：$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$_ 3.✅ 记忆性质：对称性、帕斯卡尔特性 4.✅ 案例分析："至少"、"最多 "需要案例 5.✅ 区别于排列：检查顺序是否重要

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💡 考试提示：组合是组合学的关键，也是 CSCA 的必修课！约占计数问题的 60%。案例分析和包含-排除是必不可少的技巧。